Hidrológiai tájékoztató, 1986

1. szám, április - ÁLTALÁNOS VONATKOZÁSÚ CIKKEK - Szilágyi Elemér: Árhullámkép-elemzések hazai vízfolyásokon

Árhullámképelemzések hazai vízfolyásokon SZILAGYI ELEMÉR Déldunántúli Vízügyi Építő Vállalat, Kapcsvár 1. Bevezetés 1.1. Fogalmi meghatározások. Az árhullámképek fogalmi köre — a jelen tanulmány tárgyalási körén belül — egy vízfolyás adott keresztmetszetén átáramló víztérfogatok egymást folyamatosan követő, időegységre vonatkoztatott idősorának kétváltozós függvényként való képi ábrázolására terjed ki. Magányos, vagy egyszerű árhullámkép az, amely egyetlen árhulámot kiváltó hidrológiai esemény okozataként jön létre. Az összetett árhullámképek magányos árhullámképeknek olyan természetes szuperpozíciója, amelyet az árhullámokat kiváltó okok gyors, időbeni egymásutánisága idéz elő. Általában összetett árhullámokkal találkozhatunk. A magányos árhullám igen ritka, eszményi hidrológiai jelenség. 1.2. Az árhullámkép-analitika célja. 1. Keresni egy olyan közelítő matematikai formulát, amelynek segítségével bonyolult, egymásra halmozódott árhullámjelenségeket lehet szétválasztani és így az árhullámokat kiváltó eseményeket és az árhullámok közötti összefüggések megbízható meghatározását lehetővé tenni, elősegíteni. 2. Kutatni egy determinisztikus árhullámfüggvény után, amely a t = 0 időpillanattól az árhullám végéig íolyamatosan egyetlen összefüggéssel képes leírni árhullámjelenségeket. Ennek révén segíteni feltárni és jellemezni az árhullámokban rejlő fizikai tényezőket. 3. Nem célja az árhullámkép-analitikának a minden határon túli közelítés, mivel az észlelt árhullámok maguk is észlelési mérési hibákkal terheltek. 2. Módszertani kérdések 2.1. A közelítő analitikai formula. A jelen tanulmány formulájának, az o > 0,0, b > 0,0, c < 0,0 feltételével az y = ax" (1) alakját választottam. A függvény bővebb ismeretét a szakirodalom [1] megadja. 2.2. A közelítő függvény normalizálása, dimenzióV mentesítése. Az Y = hányadosok képzésével elérje x„, hányadosok képy ma* jük, hogy az a = 1,0, míg az X = zésével —c = 1,0. Az x

m>

1 értéke az a hely, ahol Vp =

= P 1/max Si 0,0 (2) és ahol p 0,0 tetszőlegesen választott kicsiny szám. Ez a feltétel a hidrológia gyakorlatában, a vízhozamot érő párolgási, szivárgási stb. veszteségek miatt a valóságban is teljesül. Így a matematikailag x

m„ = + oo nyílt tartományt zárt tartománnyá tettük, melynek határpontjai az x — 0, x = x.„ értékek. A normalizált függvény alakja az Y„

b = X„" e~

X

n (3) ahol n index a normalizált állapotra, b index pedig az adott b kitevő szerinti különbözőségre utal. A normál koordinátarendszerben való ábrázolás és közelítés árhullámhalmozódás esetén nem mindig vezet eredményre. Szerző erre új analitikai (lg—lg ábrázolási) módszert dolgozott ki és alkalmozott. 2.3. Az Y„

b = X,,

1' e~

x" összef üggés viselkedése lg—lg koordinátarendszerben. Számoljuk ki rendre pl. a b = 3,4 kitevővel, a 3. összefüggés X„—Y„

b értékpárjait. növekvő ág , b=3.4 1. ábra. Y„b = X„

b e~

X

n függvény viselkedése lg—lg koordináta rendszerben ni = 1,8; n

2 = 2,25; ki = 2,33; k

2 = 6,92; b = 3,4; c = —1,0. Ábrázoljuk azt lg—lg koordinátarendszerben (1. ábra). A függvény növekvő és fogyó ágán egy a lg Y„

b ,„„ - 0 pontból kiinduló, de az eredeti függvényértékek növekedő irányával ellenkező irányba mutató, W

L = k

L Zi"

1 W

2 = k

2z

2"i (4); (5) összefüggésekkel felírható n-ed fokú parabolákat, illetve parabolikus görbéket kapunk. (Az 1. index a növekvő a 2. index a fogyó ágat jelöli.) A „Növekvő ág" parabolikus megközelítésének kvadratikus középhibája (relatív hibákból képezve) <$! = 3,11%, és a „Fogyó ág"-on <5

2 = 2,11%. 2.4. A lg—lg függvényábrázolás grafoanalitikai lényege és szerepe. Írjuk fel egy valós, originál y

0 = f(.r,

l) függvényre a és W

2 összefüggéseket: Woi = lg i/o „„ — lg y

0 = lg k

t + lg x

0. — lg x^)"

1 (6) W

0

2 = lg y

0 ,„„ — lg y

0 = lg k

2 + (lg X

0 — lg x

0.)

n

2 (7) ahol x

(|

t a tetőzés helyét jelöli. A kapott értékek — ordináták és abszcisszák — hányadosokat képviselnek és így dimenziómentesek. A parabolikus görbék, melyeket a lg—lg ábrázolásból kapunk, sajátos módon a valós függvénynek normalizált transzformációját adják. Ez a lg—lg függvényábrázolás grafoanalitikai lényege. Bizonyítható, hogy azonos b kitevőjű valós és normálfüggvények lg—lg transzformáltjai, lg—lg parabolái egybevágóak. Ebből kiindulva bizonyos, hogy valamely ismert b kitevőjű normálfüggvényünk jól fog illeszkedni valós függvényünk lg—lg adatsorára. Ezzel valós függvényünk b kitevőjét egyben meg is ismertük. Az adatsorra illeszkedő lg—lg normálparabola kijelöli 0 pontjával (tetőzési érték) a valós függvény maximumának értékét (y

0 „,„) és helyét (x

0

I) még akkor is, ha valós függvényünkből csak néhány adat ismeretes! A c állandót a —c = állandó értékét X

0i összefüggés adja, míg az a lg Vő™* = lg a + b lg x

0. — c lg e x

m összefüggésből határozzuk meg. (8) 12