Forrás, 2019 (51. évfolyam, 1-12. szám)
2019 / 9. szám - „Vannak vidékek legbelül” (Némethi András professzorral Staar Gyula beszélget)
82 de azok mind polinomiális egyenletek. Ezeknek az egyenleteknek a közös zérushelyei az az objektum, amit meg szeretnék érteni. Ennek is általában nagy a dimenziója. Ezt bizony nehéz elképzelni. A háromdimenziós terünkbe beágyazott kétdimenziós felületet, a gömböt vagy az úsz ógumit könnyen elképzeljük. De ahho z valahogy már hozzá kell szoktatnunk magunkat, hogy például egy háromdimenziós objektumot elképzeljünk, mint absztrakt sokaságot beágyazás nélkül, vagy akár beágyazva egy mondjuk hatdimenziós térbe. Részben egy intuíciót kell kifejleszteni, amivel látjuk mindezeket, ugyanakkor meg kell találnunk mindazokat a matematikai fogalmakat, melyek precízen leírják őket. Bonyolítja az életet, hogy nem mindig a valós számokkal dolgozunk, a komplex számtest feletti zérushelyek néha előnyösebbek, vagy szükségesek, mivel az imaginárius megoldásokat is „látják”. Tehát polinomokat írok le, és vizsgálom azok zérushelyeit. A polinomnak egyik lényege , hogy kimerevíti az általa leírt teret. Bármelyik kis részét csak egyértelműen lehet globálisan folytatni. Az egyenesnek vagy a körnek, ha ismerem egy kis részét, akkor ismerem azt az egyenest, azt a kört. Ezek a merevség miatt szoros törvényeknek engedelmeskednek, osztályozási struktúráik varázslatosak. Amikor polinomiális egyenleteket ír ok fel, nem biztos, hogy azok mindenütt „simák” lesznek. Tekinthetem például a két e gymást metsző egyenest, vagy az x 2 = y 3 zérushelyét , aminek csúcsszingularitása van az origóban. Olyan „csúnya” pontja, ahol összehuppan valami. Lokálisan nem olyan, mint a kis törésmentes körlapfolt. Egyik fő cél az algebrai sokaságok osztályozása. Ezt az algebrai módszerek és a topologikus invariánsok segítségével és ezek összefonódásával próbáljuk elérni. De ez az össze fonódás a „rossz”, a nem sima pontok vizsgálatakor még határozottabbá válik. Először a szingularitást topologikusan vizsgálom. Egy kis burkot veszek körülötte, arról gyűjtöm össze az információkat, s abból következtetek arra, hogy mi történhet a szinguláris pontban. A környezetének topológiájából próbálom meghatározni az egész szingularitás egyenletét vagy az algebrai geometriai invariánsait. – Az általad megalkotott rácspont-kohomológiáról mi mondható el? – A topológusok többféle homológiaelméletet vezettek be, hogy osztályozásuk érdekében mérni tudják a sokaságok tulajdonságait, különbséget tehessenek a terek között. Én a komplex felületszingularitásokra dolgoztam ki egy ilyen típusú elméletet. Nagy előnye, hogy kapcsolatban áll a topologikus kohomológia-elméletekkel is, ugyanakkor az algebrai geometriának a kéveelméletével is. A rácspont-kohomológia híd, ami átjárást teremt a két elmélet között, összekapcsolja azokat. Egyszerre teremt rálátást a topológia homológia- elméleteire és az algebrai geometria invariánsaira is. A rácspont-kohomológia ennek a harmóniának a megfogalmazása. – Hogyan lehet rájönni ilyen elméletre, amely hidat teremt két terület között? – Ez lassú folyamat volt, több lépésből állt, és a felismerés természetesen nem a semmiből jött. Először bizonyos konkrét szingularitáscsaládok megvizsgálása során megmutatkozó numerikus egybeesés fogalmazódott meg. Akkoriban egy román fiú, a topológus Liviu Nicolescu Columbusban töltötte a szabad évét. Beszélgettünk, elmondtam neki, min dolgozom, mit szeretnék megérteni, és hogy biztosan valami mélyebb összefüggést kellene kiásni. Erre ő is lelkesen nekiállt a munkának. Végül rengeteg beszélgetés és próbálkozás után megtaláltuk a keresett titkot, és sok példán ellenőriztük. Ez egy numerikus összefüggés volt. A topologikus Seiberg–Witten-invariánst köti össze az algebrai geometriai génusszal. Utána próbáltam ezt még jobban megérteni, mélyebbre szántani,
