Szocialista Nevelés, 1972. szeptember-1973. június (18. évfolyam, 1-10. szám)
1973-02-01 / 6. szám - Bálint Lajos: Egy korlátozó feltétel kihagyásával kapott feladattípusról
1 a 3-mal osztható számok számát, majd kivonjuk a 2-vel és 3-mal, azaz 2.3 = 6- tal osztható számok számát, mivel ezeket a 2-vel osztható számok közé és a 3-mal osztható számok közé is besoroltuk. Tehát a 2-vel vagy 3-mal osztható számok száma: 50 + 33 — 16 = 67 db. A 7. feladatnak egy változata az is lehet, amikor azt kérdezzük, hogy hány természetes szám van 1—100-ig, amelyek nem oszthatók 2-vel vagy 3-mal. Egy további alkalmazását ennek a feladattípusnak magában a matematikában az alábbi probléma nyújtja: Hány olyan természetes szám van 392- ig, amelyek relatív prímek 392-höz? Megoldás: Két számot akkor nevezünk relatív prímnek (viszonylagosan oszthatatlannak], ha legnagyobb közös osztójuk 1. Feladatunk megállapítani, hogy az 1, 2, 3. .... 391 sorozatban hány olyan szám van, amely 392-vel viszonylagosan oszthatatlan, azaz relatív prím. E célból vizsgáljuk meg a 392 számot. Könnyen belátható, hogy összetett szám, és prímhatványtényezős felbontása ennek a számnak 392 — 23 . 72 Mivel a 392 összetett szám, nyilván lesznek 392-nél kisebb számok, amelyeknek lesz 392-vel 1-nél nagyobb közös osztójuk. Ilyenek lesznek az összes 2-vel, az összes 7-tel osztható számok, továbbá az összes 2.7 = 14-gyel osztható számok. Vizsgáljuk meg, hány ilyen szám van 392-ig. 392 1 — 392-ig —— 196 darab 2-vel osztható szám van (azaz minden második], 392 1 — 3S2-ig —-— = 53 darab 7-tel osztható szám van. Továbbá nem lesznek relatív prímek a 332-vel a 2 . 7 = 14-gyel osztható számok sem. Ezek száma 392-dg: amelyek nem tartoznak sem az A sem a В halmazba. Ezek számát megkapjuk, ha 392-ből kivonjuk az А П В halmaz elemszámát, S12-t. Mivel ismerjük az A halmaz elemszámút. jelöljük ezt ni-gyel, а В halmaz elemszámát jelöljük m-vel, valamint az A U В (2-vel és 7-tel, azaz 14-gyel osztható számok) halmaz elemszámút pi2-t, könnyen kiszámíthatók azok a számok, amelyek viszonylagosan oszthatók 392-vel. Ezek száma: qq? qqo (1) S12 = ni + П2 — pi2 — — + —----392----------= 196 + 56 — 28 = 224. 2.7 Tehát a 392-nél kisebb és vele viszonylagosan osztható számok száma 224 darab. Innen adódik, hogy a viszonylagosan oszthatatlan számok száma: 392 — 224 = 168 darab. Helyettesítsük most ebbe a kifejezésbe 224 helyett az (1) alatti kifejezést. Kapjuk: 292 2.7 / = 392 /1 — + -L/= 392 / 1 --!•/./ — — = 28 darab. Most ábrázoljuk a feladatot az ún. Venn diagrammal. Az / alaphalmaz elemei legyenek az 1 — 392-ig terjedő számok, az A halmaz elemei 2-vel, В halmaz elemei 7-tel osztható számok, (4. ábra). Az ábrából látható, hogy azok a számok lesznek viszonylagosan oszthatatlanok 392-vel, Könnyen belátható, hogyha egy a számnak a prímhatványtényezős alakja a = P1 * P akkor az a számhoz tartozó vele viszonylagosan oszthatatlan számok száma, az előző konkrét példa alapján: a / 1-----— /. / 1 — / lesz. 185
