Szocialista Nevelés, 1968. szeptember-1969. augusztus (14. évfolyam, 1.12. szám)

1968-10-01 / 2. szám - Bálint László - László Béláné: Készülünk a matematikai olimpiászra

feladatoknak két fő része van. A „hamvai kezdődő első rész a feltevés, az „akkor“-ral kezdődő második rész a következmény. Nyilvánvaló, hogy a feladat eredeti megszövegezéséből is meg lehet ezeket állapítani.

Hogy bebizonyíthassuk az állítást, összekötő logikai lépéseket kell találnunk a fő részek között. Ennélfogva a feltevésből kell kiindulnunk.

A trapéz középvonalát az átlók három szakaszra osztják fel (5. ábra).

5. d>brd,

Ezek közül a közbülső lesz a feltevésben megadott x = XY szakasz. Ennek hossza megkapható, ha az EF szakaszból kivonjuk az EX és YF szakaszok összegét, azaz

x = EF — (EX + YF) (1)

Mivel a feladat állítása szerint a megoldás folyamán arra kell törekednünk, hogy x az a és c szakaszok segítségével legyen kifejezve, ezért jogosnak látszik az a követelés, hogy ezek segítségével próbáljuk kifejezni az EF, EX és YX szakaszokat is. Nem is lesz nehéz, mert ismereteink alapján

a + c

Ezenkívül EX, YX szakaszok a DCA ill. DCB háromszögek középvonalai, s ezért

EX = — c, YF = — c.

Az így kifejezett szakaszoknak az (l)-be történő behelyettesítése után megkapjuk az a + c

x - * *

(y c + yc)~

kifejezést, ami a feladat állításának helyességét bizonyítja.

Feladat: Bizonyítsuk be, hogy két egymást követő természetes szám szorzata, nagyobbítva a nagyobbik szám/n + 1/. /n + 1/ = /n + l/2

mai, egyenlő a nagyobbik szám négyzetével.

Bizonyítás: Legyen jelölve a két egymást követő természetes szám n és n + 1-el. Nyilván n + 1 > n. Tehát azt kell megmutatnunk, hogy

П . /п + 1/ + /П + 1/ = /n + 1/2

kiemelünk /n + l/-et

* /n + 1/. /n + 1/ + /n + 1/2 /n + 1/2 = /n + 1/2

Tehát a feladat állítása helyes.

Végül azon reményünknek adunk kifejezést, hogy e pár feladatnak sok mozzanatában és elgondolásában a megszokott módszerektől eltérő megoldása ad az olvasónak valami újat, hasznosat, figyelemre méltót, amit később nemcsak a matematikai olimpi- ász feladatainak megoldásában, hanem minden más probléma megoldásakor is sikeresen tud majd hasznosítani.

59