Szocialista Nevelés, 1968. szeptember-1969. augusztus (14. évfolyam, 1.12. szám)
1968-10-01 / 2. szám - Bálint László - László Béláné: Készülünk a matematikai olimpiászra
A 2. ábrába berajzoltuk mindazokat a mértani elemeket, amelyeket meg kell vizsgálnunk. Nyilvánvaló, hogy az adatokból az ismeretlent közvetlenül nem lehet megszerkeszteni. Ez teszi indokolttá valamilyen hasznos tulajdonság, elem, alakzat levezetését, megszerkesztését. Éppen ennél a lépésnél válik szükségessé a megoldó leleményessége, ismereteinek gazdagsága és a feladatok megoldásában való jártassága, amelyek sok esetben döntően befolyásolják a megoldás sikerességét. A mi feladatunk esetében jogosan feltehetjük a kérdést: Milyen alakzat fedezhető fel még az ábrán? A felelettel nem sokat kell haboznunk, mert azonnal látjuk, hogy van még a 2. ábrán egy háromszög is. Milyen összefüggés van ezen XVY háromszög és az M pont között? Az M pont e háromszög XY oldalának középpontja. Kérdezhetünk tovább: Mivel van kapcsolatban a háromszög oldalának középpontja? Feleletként elmondhatjuk, hogy többek közt a háromszög középvonalával, ennélfogva rajzoljuk be az ábrába azt a középvonalat, amely párhuzamos a tekintett háromszög XV oldalával, mert éppen ennek lesz M az egyik végpontja. A másik végpontja N pedig a VY oldal középpontja lesz {3. ábra). De hogyan válhat hasznossá ez a feladat ismeretlenjének megszerkesztésénél? Nem lehetne-e már legalább a feladat valamelyik részét megszerkeszteni? Az előbbi tapasztalataink alapján kimondhatjuk, hogy VN = NY. Ha pedig a keresett szakasz egyik végpontját megkaptuk, a másik megszerkesztése már nyilvánvaló. Ezzel a feladatot részfeladatokra bontottuk, megkerestük az ismeretlenre vonatkozó feltételeket, vagyis elemeztünk. Az elemzéssel megteremtettük az összekötő vonalat az adatok és az ismeretlen között, továbbá felfedtük az ismeretlen megszerkesztésének folyamatos útját. Ezek után mindig a feladat ismeretlenjének megszerkesztése következik, amit az elemzés alapján a következőképpen lehet elvégezni: Először megszerkesztjük az adott AVB <-et és belsejében az M pontot (4. ábra). Utána meghúzzuk a VA félegyenessel párhuzamos M ponton áthaladó m egyenest, m metszi a VB félegyenest egy N pontban. Y a VB félegyenes azon pontja, amelyre érvényes, hogy VN = NY. Végül az YM félegyenes metszi a VA félegyenest a keresett XY szakasz másik (X) végpontjában. A feladat teljes megoldása érdekében szükséges még az XY szakaszra ellenőrizni a feladat feltételeit és végül megállapítani a feladat megoldásának mennyiségét. Ezeket azonban az olvasó az elemzés és a szerkesztés alapján már könnyen elvégezheti. Oldjunk meg ezek után néhány bizonyító feladatot is. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy a trapéz középvonalának a trapéz átlói közé eső része egyenlő az alapok különbségének felével. Megoldás: Ez egy bizonyító feladat, amelynek megoldása érdekében el kell dönteni a feladat állításának igaz vagy téves voltát. Feladatunkat azonban megszövegezhetjük még a következőképpen is: Ha a trapéz középvonalának a trapéz átlói közé eső ré9ze az x szakasz, akkor x egyenlő az alapok különbségének a felével. Ebből is látható, hogy a bizonyító 58
