Szocialista Nevelés, 1968. szeptember-1969. augusztus (14. évfolyam, 1.12. szám)
1968-10-01 / 2. szám - Bálint László - László Béláné: Készülünk a matematikai olimpiászra
x + y = 103 x—y= 47 2x =150 x= 75 75 + y = 103 у = 103—75 = 28 Tehát a kisebb szám 28, a nagyobb 75. Általában kétféle feladatról szokás beszélni: meghatározó és bizonyító feladatról. A meghatározó feladat célja, hogy meghatároztasson, megszerkesztessen valamit, a feladat ismeretlenjét. A bizonyító feladatok célja, az előbbi feladattól eltérően az, hogy eldöntse egy állítás helyes vagy téves voltát. Lássunk erre néhány feladatot. Kezdjük a meghatározó feladatoknál. Feladat: Egy galambtenyésztőnek 100-nál kevesebb galambja volt. Ha kettesével, hármasával, négyesével vagy ötösével engedte kirepülni őket, mindig egy galamb a galambházban maradt. Hány galambja volt a galambtenyésztőnek? Megoldás: A feladatban a galambok száma az ismeretlen. Adott mennyiségek: a galambokat kettesével, hármasával, négyesével, ötösével kiengedve egy galamb marad a galambházban; továbbá a 100. Feltétel: a galambok száma kisebb mint 100. Azáltal, hogy meghatároztuk mi az adott, mi az ismeretlen és mi a feltétel, tulajdonképpen megértjük a feladat tartalmát. Ezután besoroljuk a feladatot ahhoz a tananyaghoz, amelynek segítségével ezt meg lehet oldani. Könnyen felfedezhetjük, hogy ez a feladat az oszthatósággal kapcsolatos. Idézzük fel mindazon ismeretet, amit ezzel a tananyaggal kapcsolatban megismertetek. Most pedig lássunk hozzá a feladat megoldásához. Mivel a galambok kettesével való kiengedése esetén egy galamb marad a galambházban, ezért a galambok száma csak páratlan lehet, vagyis 2ki + l alakú. Ha a galambok hármasával lettek kiengedve, szintén egy galamb maradt a galambházban, ezért a galambok száma olyan páratlan szám, hogy 3-mal osztva egy maradékot ad, vagyis 3k2 + l alakban írható. Ha a galambok négyesével vannak kiengedve és egy marad benn, azt jelenti, hogy a galambok száma 4кз + 1 alakban írható. És végül ha ötösével engedjük ki a galambokat, szintén egy marad benn, amiről következtethetünk, hogy a galambok száma 5k-i + l alakú páratlan szám. Ha az említett módon való kieresz- tés mindegyikénél nem maradt volna fenn egy galamb, ez azt jelentené, hogy a galambok száma olyan 100-nál kisebb számmal van megadva, amely osztható 2-vel, 3-mal, 4-el, és 5-tel, vagyis ezen számok legkisebb közös többszöröse, azaz 3.4.5 = 60. Ha ehhez hozzáadok egyet, megkapom a galambok tényleges számát, azaz 60 + 1=61. A galambok száma tehát 61. Feladat: Egy adott AVB < belsejében levő M ponton át szerkesszünk olyan XY szakaszt, amelynek végpontjai a szög száréin vannak és középpontja M. Megoldás: Ez egy meghatározó, közelebbről szerkesztési feladat. A tankönyvekben találhatók ehhez hasonló feladatok megoldásokkal együtt. Ezért célunk nem csupán a feladat megoldása, hanem a megoldáson keresztül elsősorban a sikeres megoldások elkezdésének, létrejöttének és nem utolsósorban a megoldások lépéseinek bemutatása lesz. így szeretnénk közelebb hozni az eredményes megfejtés lehetőségének hátterét. Feladatunk ismeretlenje egy XY szakasz, az adott mennyiségek, vagyis az adatok pedig az AVB < és az M pont. Az ilyen és ehhez hasonló mértani szerkesztéseknél igen gyakran alkalmazzuk azt a megoldási eljárást, amelynek első lépéseként megoldottnak tekintjük a feladatot. Képzeljünk el valami olyat, amit még nem értünk el: azt, hogy az XY szakasz keresett helyzetét megtaláltuk, vagyis megoldottuk a feladatot (2. ábra). 57
