Szocialista Nevelés, 1958 (3. évfolyam, 1-12. szám)
1958-07-01 / 7-8. szám - Gedei János: Szerkesztési feladatok a matematika tanításában
Gedei János: Szerkesztési feladatok a matematika tanításában 213 d) Diszkusszió. Ez a lépés gyakran a feladat megoldásának legnehezebb része. Meg kell adnunk a megoldás feltételeit és a lehetséges megoldások számát. A szerkesztés „megtárgyalása” — diszkussziója — néha igen érdekes geometriai összefüggések, törvényszerűségek felismeréséhez vezet, gyakran új problémákat vet fel, újabb feladatok megoldását tűzi ki elénk. Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adva van az átfogója és befogóinak összege! a) Elemzés. Rajzoljunk vázlatot, szúrjuk körzőnket a derékszög csúcspontjába és forgassuk be a b befogót — a két befogó összegének egy szakaszon való előállítása céljából az a befogó mellé (1. ábra). Ekkor a baloldali 1. ábra kiegészítő háromszög egyenlőszárú derékszögű háromszög, mindkét hegyesszöge 45°-os. Ennek felismerése alapján a feladatot megoldhatjuk. b) Szerkesztés. Egy egyenesre felmérjük az a + b szakaszt. Ennek egyik végpontjában 45°-os szöget szerkesztünk, másik végpontjában pedig c-vel mint sugárral körívet rajzolunk. A körív és a 45°-os szögszár metszéspontjából a + b-re merőlegest szerkesztve, megkapjuk a keresett háromszöget. c) Bizonyítás. A megszerkesztett háromszög derékszögű; átfogója c, befogóinak összege pedig valóban a + b. A szerkesztés tehát helyes. d) Diszkusszió. A feladat megoldásához nyilván hozzá sem kezdhetünk annak a feltételnek teljesülése nélkül, hogy a + b>c legyen, hiszen egy háromszögben két oldal összege nagyobb kell, hogy legyen a harmadiknál. Azonban ha teljesül is ez a feltétel, a feladat megoldásakor három eset lehetséges: a c-vel rajzolt körív a 45°-os szögszárat két pontban metszi, egy pontban érinti, vagy egyáltalán nem metszi (2. ábra). Az elsó esetben két megoldást kapunk, de az így nyert két háromszög egybevágó, csupán helyzetük különböző egymástól. A második esetben egy megoldáshoz jutunk és az így nyert derékszögű háromszög egyenlőszárú. A harmadik esetben nincs megoldás.
