Szocialista Nevelés, 1957 (2. évfolyam, 1-10. szám)

1957-02-01 / 2. szám - Schramm László: Megjegyzések az elsőfokú egyenletek megoldásához

36

Schramm László: Megjegyzések az elsőfokú egyenletek megoldásához

st ' V

megoldása. Ha a = b = 0, az egyenletnek végtelen sok megoldása van.

0.x+2 = 0 egyenletünkben a = 0 és b^O, ezért az egyenletnek nincs megoldása, vagyis nem található olyan x szám, amely az egyenletet kielégítené.

Az egyenletet nem szabad nullával szorozni. Tegyük fel, hogy az A(x)= = B(x) egyenletnek csak egy megoldása van. Ha az egyenlet mindkét oldalát nullával szorozzuk, O.A(x) = O.B(x) egyenletet nyerjük. Ezt az egyenletet kielégíti minden olyan szám, amelyre az A(x) és B(x) függvényeknek értelme van.

Nem vettem még észre, hogy a tanuló szembetűnő nullával szorozná az egyenletet. Azzal sem találkoztam még, hogy két kifejezés vagy szám egyenlőségét pl. hasonló „próbával” bizonyítaná: 7 = 5, mert 7.0 = 5.0, vagyis 0=0. Gyakran előfordul azonban, hogy a tanuló rejtett nullával szorozza az egyenletet, ami természetesen nincs megengedve.

Oldjuk meg az

1 x—5 _ 2

x—2 3x—6 3 (1)

egyenletet a megszokott módon

1 __x—5_______2

x—2 3(x—2) 3

/3(x—2)

3+x—5 = 2x—4

x 2 (2)

Az x=2 gyök kielégíti ugyan a (2) egyenletet, de nem elégíti ki az (1) egyenletet, mert a baloldalnak az x=2 értékre nincs értelme. Az (1) egyenletnek nincs megoldása, mert nem található olyan x^2 szám, amely azt kielégítené. Figyeljük meg, hogy az egyenletet „rejtett” nullával szoroztuk, mert az x = 2 értékre x—2 = 0. Ezért hangsúlyozzuk tanítás közben, hogy a megoldás minden egyes lépésénél meg kell állapítani azokat a feltételeket, amelyek az egyenlet megoldását korlátozzák.

Az (1) egyenletet az általánosabb

1 | i--' x—a 2

x—2 + "з(х—2) ~~ 3 (3)

egyenlet speciális (különleges) alakja. A megoldás feltétele x^2. Fokozatos

. 3 + x—a = 2x—4

rendezessél a

x= 7 —a

egyenlethez jutunk. x = 2 értékre a = 5. Ezt az esetet ki kell zárnunk, mert az a = 5 értéknél x=2 és a (3) egyenletnek nincs értelme. Ezért az (1) egyenletnek nincs megoldása.

Általában követeljük meg, hogy legyen diszkusszió minden olyan egyenlet megoldásakor, amikor az egyenlet az ismeretleneken kívül még ún. paramétereket is tartalmaz, vagyis olyan betűket, amelyek változó jellegűek. Diszkusszióval megállapítjuk, hogy melyek a megoldás feltételei és hogy milyen és hány megoldása van az egyenletnek. A diszkusszió néha elég bonyolult, különösen akkor, amikor az egyenlet több paramétert tartalmaz. Ezért a feladatok megválasztását jól fontoljuk meg. A VUI. osztályban csak olyan egyenleteket számítunk, amelyeknél a diszkusszió egyszerű. Felsőbb osztályokban már igényesebb feladatokat is adhatunk.