Szocialista Nevelés, 1957 (2. évfolyam, 1-10. szám)

1957-02-01 / 2. szám - Schramm László: Megjegyzések az elsőfokú egyenletek megoldásához

Schramm László: Megjegyzések az elsőfokú egyenletek megoldásához

37

Oldjuk meg a következő egyenletet:

(4)

a

Ezt az egyenletet korlátozó feltételek: x^O, +1^0, vagyis a + x = 0, x—

x^—a. Megfelelő rendezéssel az (a—b)x = ab (5)

egyenlethez jutunk.

Diszkusszió.

A következő eseteket fogjuk megkülönböztetni:

I. a—b^O. Emellett még lehet 1, ab^O

2. ab = 0.

II. a—b = 0. Emellett még lehet: 1, ab^O

2. ab = 0.

Elemezzük az egyes eseteket fokozatosan egymás után!

I./l. a—b^O, ha ab^O, akkor a^O, b^O, az (5) egyenletnek csak egy meg-.

clb

oldása van x= ----— .Ez a megoldás kielégíti a (4) egyenletet is.

a d

I. /2. a—b = 0. Ha ab = 0, akkor x = 0. Ez a megoldás ugyan kielégíti az (5)

egyenletet, no de figyelembe véve az x = 0 korlátozó feltételt, nem megoldása a (4) egyenletnek.

II. /l. a—b = 0. Az (5) egyenlet alakja 0.x = ab. Ha ab^O, az (5) egyenletnek

nincs megoldása. Ezért a (4) egyenletnek sincs megoldása.

II./2. a—b = 0 és ab = 0. Akkor a = b=0. Az (5) egyenlet alakja 0.x = 0. Ezt az egyenletet kielégíti minden x érték. Nézzük még meg a (4) egyenletet! Annak alakja:------------- =0 lesz.

i+ 0 x

Ezt is kielégít minden x?^0 érték. Ezt a korlátozást azonban már bevezettük.

A példából látjuk, hogy a diszkusszió fontos, mert a megoldással szoros összefüggésben van. Diszkusszió nélkül a megoldás nem mindig teljes, sőt előfordulhat, hogy hibás.

Az egyszerű elsőfokú kétismeretlenű egyenletrendszerek megoldását is a VUI. osztályban vesszük át. Itt a tanulóknak tudniok kell, hogy két rendszer mikor ekvivalens. Az M rendszer ekvivalens az N rendszerrel, ha az M rendszer minden megoldása egyúttal az N rendszernek is a megoldása és fordítva: az N rendszer minden gyöke kielégíti az M rendszert. Ha az N rendszer ekvivalens az M rendszerrel, amelynek nincsen megoldása, akkor az N rendszernek sincs megoldása.

Egyenletrendszerek megoldásánál vagy ekvivalens rendezéseket alkalmazunk, vagy olyan rendszerré való átalakítást, amely magában foglalja az eredeti rendszer minden gyökét, de vele nem ekvivalens. Ilyen eljárásnál