Vízügyi Közlemények, 2001 (83. évfolyam)

2. füzet - Reimann József: Az árvizek tetőzésének és tartósságának valószínűség-számítása

222 Reimann József túllépés F(x)=P(X<x) eloszlásfüggvénye jól illeszkedik az exponenciális eloszláshoz, azaz F{x)=\-e™ (1) alakba írható, ahol a- j , az A'változó várható értékének a reciproka. Hasonlóan az E{X) У tartósság G(y)=P(Y<) eloszlásfüggvénye G(y)= \-e-V* (2) ugyancsak exponenciális eloszlás, természetesen más paraméterrel. Az X túllépés nagysága és az У tartósság között erős korrelációs kapcsolat mutatkozik, ezért közöttük lineáris regresszió van. Megmutatjuk, hogy az (X,Y) változó pár H(x,y)-P(X<x,Y<y) együttes eloszlásfüggvénye az F(x) illetve G(y) egyváltozós eloszlásfüggvények, valamint a p korrelációs együttható segítségével H(xy)=p • min[F(jc),G(y)]-K 1-p) • F(x) • G(y) (3) alakban állítható elő, ahol min[F(x),G(y)] az (X, Y) pontban az F{x) és G(y) eloszlásfüggvények közül a kisebbiknek az értékét jelenti. Az (1) formulában szereplő F(x) eloszlásfüggvény segítségével meghatározhatók a „mértékadó" árvízszintek. Például az 1 %-os szint, az a szint, amelynek meghaladási valószínűsége 0,01 az ét™O=0,01 (4) , v ,,, /л0,01 4,61 egyenlet XQ megoldasa, ami = = • -a a Régebben a mértékadó árvízszinteket az évi legnagyobb vízállások idősorából számították. A 70-es években az USA-ban (Colorado állam) és más országokban (Zelenhasic 1970) rájöttek, hogy az évi legnagyobb vízállások jelentős része nem is árvíz (nálunk kb. 40%-a), míg ha egy évben több árvíz is jött, csak egyet választottak belőle, a legnagyobbat. Több információ nyerhető az árvizekről, ha valamennyi árhullám tetőzési értékét, tartósságát, stb. figyelembe vesszük. Az A'túllépés és У tartósság közötti erős korreláció alapján az X túllépés értékéből sok információt kapunk az adott árhullám tartósságára. A tetőzés átlagban a levonulási idő felénél következik be, ezért a tetőzés alapján, félidőben nagyjából előre becsülhető a tartósság, a gátra nehezedő terhelés, a védekezés időtartama, stb. Megbízható becslésekhez azonban figyelembe kell venni az X túllépés és У tartósság közötti sztochasztikus kapcsolatot. Ebből a szempontból nem elegendő csak a nagy árvizek adatainak elkülönített vizsgálata, mivel kevés nagy árvíz van. Az összes árvíz adatát figyelembe kell venni. Ezekből származtathatók az extrém eloszlások is. A túllépés és a tartósság együttes eloszlásának ismerete módot ad az árvízi terhelés becslésére, ami a legtöbb folyó (pl. Tisza, Bodrog) esetében Weibull-eXosAé&X követ. Az árhullám tipikus alakját az 1. ábra szemlélteti és amelynek alapján az árvízi terhelést egy háromszög területével a Z=jxY (5) valószínűségi változóval fogjuk közelíteni, amely általában Weibull-eloszlású.