Vízügyi Közlemények, 1984 (66. évfolyam)
4. füzet - Varga István: Analitikus megoldások alkalmazása az egydimenziós szabadfelszínű áramlások számításában
556 Varga István adott szakaszon a kezdeti időpontban meglévő áramlási állapot hossz mentén átlagolt jellemzői, valamint a hossz menti változásokat jellemző differenciálhányadosok szerepelnek. Ily módon az (5) és (6) egyenletek a meder nem prizmatikusságát is jellemzik. A Ah(x, t) és Aq(x, t) általános megoldásfüggvények meghatározásánál, amelyek a nem permanens kezdeti és a zérustól különböző határfeltételeket is kielégítik, kihasználjuk, hogy az egyenletrendszer lineáris. Ezért - a szuperpozíció elvének érvényessége miatt - az általános peremértékprobléma megoldása egyszerűbb, homogén kezdeti- és határfeltételek melletti megoldások összegeként is előállítható. 2. Megoldások az operátor tartományban. Átviteli függvények A célszerűbb tárgyaihatóság érdekében először Laplace transzformáljuk az (5) és (6) egyenleteket (Fodor 1965): У о ~~ ~ (i>oP + <Po)H + 1(P+S 0)Q = (7) dx b 0 d* b 0 p b o PH + (8) d.v p ahol H\ Q a vízszintváltozás [ms], ill. a zf<y [m 3] vízhozamváltozás Laplace transzformáltja; p pedig a ölöt differenciál operátor. A (8) egyenlet felhasználásával a (7) egyenletből a H változó és deriváltja kiküszöbölhető, így: -bodio- ^^ djc dx p A (9) egyenlet már egy lineáris, másodrendű, állandó együtthatójú inhomogén, közönséges differenciálegyenlet. A zérustól különböző jobb oldal a kezdeti időpontban meglévő nem permanens áramlást jellemzi. Ha a kezdeti áramlás permanens, a jobb oldal redukálódik, egyenletes permanens kezdeti feltétel esetén pedig zérus (homogén egyenlet). A (8) és (9) egyenletrendszer általános megoldása a következőképpen adható meg: H(x, p) = C 1(p)exp(r 1x)+ C 2(p)exp(r 2jc)+ Яо (р), (10) Q(x, p) = - Ci(p) ^expír.x)- C 2(p) ^exp(r 2x)+ ßo (p), (11) r l r 2 ahol Ci(p) és C 2(p) - a határfeltételektől függő integrálási állandók; ri(p) és r 2(p) - a (9) egyenlet homogén részére vonatkozó karakterisztikus egyenlet gyökei; r I. 2(p) = _ 2t>oP + Уо±2Co(p 2 + 2<xp + ß 2) 1/ 2 rc = voçpo+joôo [1/s] ; « JÜL [1/в ] tf 0(p) és ß 0(p) 2y 0 2с 0 2с 0 a kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldások. A Qo(p) partikuláris megoldás a (9) egyenletből közvetlenül meghatározható. Mivel a jobb oldal a helytől független:
