Vízügyi Közlemények, 1984 (66. évfolyam)
4. füzet - Kontur István: A negatív binomiális eloszlás paraméterbecslése és alkalmazása az előrejelzésben
A negatív binomiális eloszlás paraméterbecslése és alkalmazása az előrejelzésben 543 víztérfogat nagysága lényegtelen, olyan mint a mértékegység. A vízrészecske megnevezés, tehát csak jelképes, szemléletes fogalmazás. A víztérfogatok véletlen bolyongásával való számolásból adódik, hogy a kontinuitási egyenlet automatikusan teljesül ( Kontur 1976). Az elemi vízhozamváltozások és a yízrészecskék - elemi víztérfogatok - között úgy gondoljuk, nyilvánvaló, hogy ha a At idő alatti elemi vízhozamváltozásról beszélünk, ami térfogati mennyiség. A bolyongás csomópontjai a tározók - a kaszkádok. Egyetlen tározó esetén szintén q - a kifolyás és (1 — q) - a tározóban maradás valószínűsége. Tehát egy olyan kísérlettel állunk szemben, amelynek két kimenetele van: a esemény, hogy a vízrészecske kifolyt a At időegység alatt és b esemény, hogy a vízrészecske nem folyt ki a tározóból. A kísérletet egymástól függetlenül végtelen sokszor elvégezve (legalábbis gondolatban) az a és b számokból alkotott egy-egy végtelen sorozat az eredmény. Jelölje // annak a kísérletnek a sorszámát, amelyben először fordul elő az a lehetőség; a vízrészecske kilép a tározóból. Ha a kísérleteket 1-től kezdve számozzuk, akkor //az 1,2,... értékeket veheti fel. Mivel az egyes kísérletek egymástól függetlenek, következik, hogy P k = P(t, = k) = q{\-q) k~\ к = 1,2,... (1) A P k valószínűségek összege 1, tehát annak valószínűsége, hogy az a lehetőség sohasem fordul elő, vagyis a vízrészecske a tározóban marad: 0. Az (1) eloszlást geometriai eloszlásnak nevezzük, az elnevezést az indokolja, hogy a P k valószínűségek egy geometriai sor tagjai (Prékopa 1962). A geometriai eloszlás várható értéke és szórásnégyzete egyszerű számolással kapható: M(ri) = t kq(\-qf~ l = ', i=i q (2) q q A geometriai eloszlás variációs tényezője: C v = D(rj)/M(t]) = [ q. A fentiekben egyetlen tározót vizsgáltunk és láttuk, hogy az elemi víztérfogat (vízrészecske) átvonulási idejének valószínűsége geometriai eloszlást követ. Ha sorba kapcsolunk n darab azonos q valószínűségi értékkel jellemezhető tározót, akkor az átvonulási idő n számú független geometriai eloszlást követő valószínűségi változó összege lesz: t = Í/1+Í/2 + . .. + //„• (3) Mint az a valószínűségi számításból közismert n számú geometriai eloszlás összege n-ed rendű negatív binomiális eloszlást alkot: „ + *) = + л=0,1,2,... (4) Amennyiben az Í/, valószínűségi változók azonos eloszlásúak és függetlenek, akkor a (2) alapján számított várható érték és szórásnégyzetből a P[ n ) valószínűségi változók várható értéke és szórásnégyzete a (3) alapján:
