Vízügyi Közlemények, 1937 (19. évfolyam)
1. szám - vitéz Filep Lajos: Egyenlő gömbökből álló halmazok
136. 4r 3 л- d S Í3, 6, 3] = Egyébként természetes, hogy S [3, 6, 3J=S [4, 4, 4], mert [3, 6, 3jZ^_[4, 4, 4]. Ez a halmaz a legsűrűbb valamennyi egyenlő gömbökből álló halmaz között. Az ábráról láthatjuk, hogy a halmaz minden gömbjét tizenkét másik gömb éri és e tizenkét szomszéd gömb is érinti mind a mellette lévőt. így tehát a gömböket nem lehet sem közelebb helyezni egymáshoz, sem pedig új érintő gömböket nem lehet közéjük rakni. Tizenkét szomszédosnál magasabb szomszédszámú halmaz nincsen. Tizenkétszomszédos halmazt nem is lehet többfélét alkotni, csupán csak azt az egyet, melyet az ábrán bemutatunk. Az, hogy e halmaz más és más oldalról nézve más és más képet mutat, könnyen okot ad arra a tévedésre, melybe az idézett művek szerzői közül egyesek beleestek, hogy többféleképen lehet egyenlő gömbökből legnagyobb sűrűségű halmazt alkotni. A tizenkétszomszédos halmazban végezzünk most némi átalakítást. Képzeljük, hogy e halmazt valamiféle gömbökből pl. labdákból előállítottuk és dugjunk egy-egy kicsiny papirosszeletkét az érintkező labdák közé, de úgy, hogy minden labda mellé csak egy papirosszeletke jusson. Ezáltal a halmaz sűrűségét valami nagyon csekéllyel csökkentettük ugyan, de tekintve, hogy a papírszeletke bármily vékony lehet, az új halmazunk sűrűsége csak úgynevezett „végtelen kicsinnyel" kevesebb az előbbi tizenkétszomszédos halmaz sűrűségénél. Az iij halmazunk azonban már csak tizenegyszomszédos, mert a papírszeletkék közbeiktatásakor minden golyót egy szomszédjától fosztottuk meg. Folytassuk ezt az eljárást tovább úgy, hogy most már minden labda mellé két papirosszeletkét tegyünk, ezáltal két eddigi szomszédjával való érintkezést akadályozzuk meg. Ekkor már csak tízszomszédos lesz a halmazunk, melynek sűrűsége a tizenkétszomszédos halmaz sűrűségétől még alig különbözik. Könnyen beláthatjuk, hogy ilyen módon akár az egyszomszédos, sőt szomszéd nélküli, össze nem függő halmazik juthatunk. Végeredményben kimondhatjuk, akárhány szomszédja van is a halmazhoz Л tartozó gömböknek, a halmaz sűrűsége ^y^'^d emelkedhetik, de ezt az értéket csak a tizenkétszomszédos halmaz sűrűsége éri el. Vizsgáljuk meg, hogyan lehet a halmaz szomszédszámából a halmaz összenyomhatatlan, összenyomható vagy összefüggéstelen természetére következtetni. Ha a halmaz minden gömbjét szomszédjai úgy támasztanak meg, hogy érintési pont nélkül nem marad rajta félgömbnyi terület : az ilyen halmaz összenyomhatatlan, mert gömbjei nem tudnak helyet változtatni. Ha egy golyó mellé 6 másikat helyezek, úgy hogy azok a golyót egy főköre mentén érintsék, úgy a 6 érintő gömb is érinti egymást. Ezek egy síkban feküsznek, e síkban még több, az első gömböt érintő golyót nem helyeztek. Szabadon maradt a vizsgált golyó mindkét féltekéje. E félgömbök egyikére még három érintkező gömböt helyezhetek el. Több nem fér. Ekkor a szomszédok száma kilenc. Ha még egy érintkező gömböt helyezek el, a halmaz gömbjein nem marad már érintkezési pont nélküli félteke, ezért a tízszomszédos halmaz mindig összenyomhatatlan. A kilencszomszédosnál magasabb szomszédszámú halmazok mindig összenyomhatatlanok. Legfeljebb kilencszomszédos összenyomható és kilencszomszédos összefüggésnélküli halmazt lehet alkotni.
