Vízügyi Közlemények, 1937 (19. évfolyam)

1. szám - vitéz Filep Lajos: Egyenlő gömbökből álló halmazok

137. Ha valamely egyenletes halmaz háromszomszédos, úgy e halmaz valamely gömbjét kiválasztom, annak három érintési pontjára mindig fektethetek síkot. Ha e sík felezi a kiszemelt gömböt, úgy ez a gömb a síkra merőleges irányban mindkét oldal felé elmozdulhat. Szomszédjai ebben nem akadályozzák. Ha pedig a sík nem felezi a gömböt, úgy a gömb a síknak azon oldala felé mozdulhat el, amelyik oldalon a gömb középpontja van. Ezért a háromszomszédos halmaz mindig összenyomható vagy éppen összefüggéstelen halmaz. Az összenyomhatatlan halmaz legalább is négyszomszédos halmaz. A teljesség kedvéért csupán csak megemlítem, hogy az összefüggő összenyomható halmazok szomszédszáma legalább is kettő. Térjünk vissza arra a halmazra, melyet a 3. ábra mutat be, és igyekezzünk kiszámítani ennek a sűrűségét. Az előzőkből már tudjuk, hogy az [1, 0, 3] halmaz sokféle lehet. Következő vizsgálatunkban a halmaz olyan állapotából induljunk ki, amelyben az ábra mutatja. Az I. képsíkon eredményvonallal kirajzolt alapidom 4 szabályos hatszög, ennek oldala _ г у 2 és a halmaz rétegei egymástól fölváltva 3 2 — r és 2r távolságban feküsznek (1. а II. képsíkon). Ha azt a gömbréteget, mely3 ben a 9., 10., 11. és 12. gömbök vannak, oldaltcsúsztatom az alatta fekvő gömbök tetején, úgy az a rétegtávolság amely eddig 2r volt, kisebb lesz. Ezáltal a halmaz sűrűsége növekedik. A gömbréteg csúsztatását odáig vihetem, míg végül is az elcsúsztatott réteg gömbjei két alattuk levő gömböt érintenek valamennyien. Ekkor a halmaz elrendeződése [2, 0,3]. Ez már ötszomszédos halmaz. Ha az elcsúsztatott gömbréteget most már más irányban csúsztatom, de mindig úgy, hogy a csúsztatott gömbök és az alattuk levők között két érintkezés maradjon, végül is a [3, 0, 3] hatszomszédos halmazhoz jutok. 2 A most leírt sűrítésen kívül a másik rétegtávolságot, amely eddig — r volt, о növelhetem, de ezt úgy végzem, hogy egy gömb se váljék el érintett szomszédjától. A rétegtávolság ily módon való növelése közben az alapidomul választott szabályos hatszög oldala mind kisebb és kisebbé lesz. Miközben ez a rétegtávolság növekedik, az egyugyanazon rétegben levő gömbök is mind közelebb és közelebb jutnak egymáshoz, végül minden gömb hat olyan gömböt érint, mely a saját rétegéhez tartozik. Ekkor a halmaz jelképe [1, 6, 3,] vagyis tízszomszédos halmaz. Ha az előző sűrítést ez utóbbival egyszerre hajtom végre, és pedig úgy, hogy a 9., 10., 11. és 12. gömbök rétegébe tartozó gömbök ne érintsenek először két-két gömböt az alattuk levő rétegből, hanem úgy, hogy egyszerre mind a három alattuk levő gömböt érintsék meg, a négyszomszédos rendszerből egyszerre tizenkétszomszédos halmazt kapok anélkül, hogy a halmaz közben öt vagy hat vagy hétszomszédos lett volna. Amikor a négyszomszédos halmaz gömbjei már egészen közel vannak egymáshoz, a négyszomszédos halmaz sűrűsége megközelíti a tizenkétszomszédos halmaz sűrűségét. Ebből tehát az következik, hogy a négyszomszédos 7T •il» halmaz legnagyobb sűrűsége mint határt közelíti meg a értéket, a legkisebb sű3 \j 2 rűségét pedig még külön kell kiszámítanunk. A 3. ábra megszemléléséből közvetlenül láthatjuk, hogy a halmaz sűrűsége kisebb akkor, ha egyik rétegtávolsága 2r, mint akkor, ha ezt a rétegtávolságot