Vízügyi Közlemények, 1937 (19. évfolyam)

1. szám - vitéz Filep Lajos: Egyenlő gömbökből álló halmazok

135. oldallapjaira gyakorolt nyomás következtében nem mozdulhatnak a gömbök. Ez a halmaz tehát összenyomhatatlan. A sűrűség a halmazok egyik legfontosabb tulajdonsága. Ebből külömböző következtetéseket vonhatunk le, ezért a halmazok sűrűségének kiszámítására általános módszert dolgozunk ki. A sűrűség a definíció szerint tört, melynek számlálója a gömbök köbtartalma, nevezője pedig, a hézagokat is hozzászámítva, a gömbök kitöltötte térfogat. Végtelen kiterjedésű halmaz esetében a kitöltött térfogat maga az egész tér. Ha halmazt úgy állítunk elő, mint föntebb leírtuk, a teret a rétegek középsíkjával olyan egyenlő lemezre osztjuk, melynek vastagsága fölváltva Mj és m

2. Ezeket a lemezeket tovább bonthatjuk hasábokra, úgy, hogy minden hasáb alapja valamely réteg középsíkján fekvő alapidom legyen. A hasáb fedőlapja legyen egy, a szomszédos réteg középsíkján fekvő alapidom. így a lemezeket olyan hasábokra bonthatom, melyeknek alapjai kongruensek, alkotó éleik pedig párhuzamosak. Minthogy a rétegek középsíkjai fölváltva m

1 és m

2 távolságban vannak egymástól, a hasábok magassága nem egyforma : vannak m

1 és vannak m

2 magasságú hasábok. Bármelyik alapidomot szemeljük is ki, ahhoz az egyik oldalról egy m

1 ; a másik oldalról egy ra

2 magasságú hasáb csatlakozik. Két ilyen hasábot a következőkben összetartozónak, egy hasábpárnak fogunk számítani. Ha az alapidom területe A, a hasábpár térfogata A (т

л-\-т

2). Számítsuk ki, hogy egy ilyen hasábpárra hány a halmazhoz tartozó gömb jut. Szemléljük meg ebből a célból egyik réteg középsíkját a rajta levő alapidomokkal és a réteghez tartozó gömbökkel. Mindenek előtt feltűnik, hogy minden alapidom belsejében ugyanannyi gömbrész vetülete esik. Gondoljuk, hogy merőlegesen vetítve az összes gömbök egész térfogatát összetömörítve a rétegük közép síkjába helyezzük. Ekkor minden alapidom területére n számú gömb térfogata jut. Különbséget tehetünk aszerint , hogy a sík melyik oldaláról történt a vetítés, tekintetbe véve, hogy a rétegek Ti középsíkjai felezik a gömböket, az alapidom mindegyik oldalára — számú gömb £ térfogata jut. Ha már most összeszámláljuk, úgy azt találjuk, hogy minden hasábpárra 2n számú gömb jut. n számú gömb jut a hasábpárat alkotó két hasáb kö71 zötti alapidomra és — számú gömb jut azon két alapidom mindegyikére, melyek 2 a hasábpár két véglapját alkotják. 2n számú gömb térfogata, ha a gömbök sugara r r3 7T -2n 3 A sűrűségre vonatkozó definíciónk értelmében pedig a sűrűség 4 r

3 T 2 n 3 A (m

í + m

2) Számítsuk ki a 2. ábrán feltüntetett [4, 4, 4] elrendeződésű halmaz sűrűségét. Az ábráról meggyőződhetünk, hogy a négyzetalapidomra négy negyed, azaz egy egész gömbfelülete esik. így tehát n=l. A következőkben az [f, к, a] elrendeződésű halmaz sűrűségét S [f, к, a] képlettel fogom jelölni, ezért 4r

3 я- 2 я 8 [4, 4, 4] = -y- 4r2(

ry2 + r}Í2) = Másrészt ugyancsak a 2. ábráról láthatjuk, hogy а IV. képsíkon feltüntetett alapg idomra, a szabályos hatszögre n = 1 — = 3 gömb felülete esik. Ezért 3