Vízügyi Közlemények, 1935 (17. évfolyam)
Kivonatok, mellékletek - Kivonat a 3. számhoz
54 Gruppo II. La scuola teoretica procede alla soluzione del problema con i mezzi della pura analisi matematica -meccanica. Non assume previamente la forma e la posizione della superficie di scorrimento supponendo che una tale supposizione contrastasse al metodo adottato, la cerca invece facendo soddisfare tutte e tre le condizioni di equilibrio. Il primo maestro di questa scuola fù Fr. Kötter, il quale ha dedotto la equazione differenziale (9) concernente le pressioni risultanti q le quali agiscono sulla superficie di scorrimento. Questa equazione differenziale non è sufficiente per la soluzione del problema, dato che essa si presta al calcolo delle pressioni solamente nel caso in cui la forma della superficie di scorrimento e già nota previamente. L'equazione del Kötter appartiene indubbiamente alla perfetta soluzione del problema, ne è però solamente una parte. Il Prof. Reissner ha messo in rilievo il fatto molto importante che la superficie di scorrimento può essere composta di parecchie superficì tangentisi fra loro, essa non è dunque una superficie continua. Il Prof. Reissner risolse però i problemi della spinta di terra solamente nel caso di terreni senza coesione. Il Prof. Kármán ha trattato il caso particolare, dove durante lo scorrimento del terreno il paramento del muro di sostegno assume il carattere di una seconda superficie di scorrimento. Il Prof. Jáky (1934) partendo dalle supposizioni del Boussinesq esprime tutte e tre le condizioni di equilibrio in esatte equazioni — fra queste anche l'equazione del Kötter — e deduce per la prima volta l'equazione differenziale che determina la forma della superficie di scorrimento. b) Segue la trattazione di quest'ultimo procedimento dell'Autore. Si suppone con il Boussinesq che le tensioni n v e t l agenti sui lati del settore elementare OA B (fig. 9 a) stiano in proporzione lineale colla distanza polare h, e possono essere espresse generalmente in forma di funzioni : t 1=hf(ß), ecc. (equazioni 10.) Si sceglie poi un sistema di coordinati polari per esprimere le condizioni di equilibrio mediante le equazioni di parziali differenziali del Cauchy (equazioni 11.) Sostituendo in queste equazioni le formula 10. se ne ricava il sistema di equazioni 12. nel quale non si trovano che solamente differenziali totali. L'equilibrio del triangolo elementare ABC, l'ipotenuse del quale rappresenta un elemento differenziale dell'arco della superficie di scorrimento, dà le relazioni 13. fra le tension' t e n agenti sulla superficie di scorrimento d'un lato, e le tensioni <r h, t L e n l soppraccennate t dall'altro. Sapendo che lungo la superficie di scorrimento il rapporto — giunge al 71/ suo valore massimo (=tgrf) l'equazione 14. si verifica facilmente, e finalmente le componenti di tensione <J h, t 1 e n 1 saranno espresse in funzioni di t e X. (equazioni 15.) Con riguardo alle equazioni 16. e 17. si possono scrivere le espressioni del t e ^ (equazioni 18. e 19.) Quest'ultime mostrano che la tensione di scorrimento t è proporzionale alla distanza polare h, oltre chè non dipende che dall'angolo di inclinazione della superficie di scorrimento a e dall'angolo polare ß. dt da Formando la funzione ^ — 2ttg cp ^ con riguardo alle equazioni 18. e 19. si giunge alla equazione 20. che in sostanza non è altro che la relazione del Kötter. Tale risultato verifica l'esattezza delle supposizioni di Boussinesq, dato che Kötter
