Zsuffa István: Műszaki hidrológia III. (Budapest, 1999)

5.2. A VÍZÉPÍTÉSI MŰVEK HIDROLÓGIAI MÉRETEZÉSE

Az energiatörő medence optimális méretezése pedig egyértelmű akkor, ha a műtárgy méreteire mértékadó árvizétől függő beruházási költségekhez hozzáadjuk a műtárgy élettartama alatti javítáki költségek várható értékét, amelynek összege nyilván a méretezésre mértékadó árvizek nagyságával fordított viszonyban van. Amennyiben kisebb vízhozamra méretezzük a műtárgyat, a beruházás csökken, de a medenceerózió gyakoribb lesz, és így a karbantartási költségek növekednek. A két ellentétes irányú költségek összegének minimuma nyilván megkereshető, ha a különböző nagyságú és valószínűségű árvizeknek a műtárgy adott T = n éves élettartama alatti k szoros előfordulási valószínűségét számítani tudjuk.

Tehát azt kell vizsgálnunk, hogy mi annak a valószínűsége, hogy n év alatt az egymástól független évi maximális vízhozamok közül k a kérdéses P* meghaladási valószínűségű árvíznél nagyobb vágy egyenlő, azaz NQ>Q(P*) legyen, és a többi n-k évben ezen értékeknél az évi maximális árvízhozam pedig kisebb, NQ < Q(P*) legyen. Az árvízi valószínűségek definíciója alapján a két fajta izolált esemény valószínűsége

és

NQ ;> q(p*)| = P* = 1-P nq<q(p*)] = i-p* = p

5.140

5.141

ahol P az árvizek elméleti eloszlásfüggvényeiből számítható meg-nem-haladási valószínűség, amelynek egységnyi kiegészítése, a P* a meghaladási valószínűség.

A függetlenség feltétele miatt az egyes évek maximumainak előfordulási valószínűségeit egymással össze kell porozni. Amennyiben tehát rögzítjük annak a sorrendjét, ahogyan a Q(P*)-nél nagyobb illetve kisebb évi maximumok jelentkezését várjuk, egy ilyen rögzített idősor kialakulásának a valószínűsége nyilvánvalóan:

m-*r'

5.142

ami azonban igen kicsiny érték.

Az események sorrendje azonban a kérdés szempontjából közömbös. A kérdéses valószínűség tehát valamennyi sorrendű, a feltételnek megfelelő, tehát k darab Q(P*)- nál nagyobb és n-k darab Q(P*)-nál kisebb évi maximális vízhozamot tartalmazó idősor előfordulási valószínűségeinek az összege. Mivel tetszőleges sorrendben egymást követő k darab NQ > Q(P*), illetve n-k darab NQ < Q(P*) eseménynek a valószínűsége az események sorrendjétől függetlenül az 5.141 kifejezés értékével azonos, a keresett valószínűség az 5.141 valószínűségnek m-szerese. Az m nyilván az az egész szám ahány féleképpen a k db. NQ<Q(P*) évi maximális árvízi esemény az n évben előfordulhat, azaz ahány féleképpen n elemből k elem kiválasztható. Ez az m szám a kombinatorika elemi összefüggései alapján:

93