Zsuffa István: Műszaki hidrológia (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996)
1. A PASSZÍV VÍZGAZDÁLKODÁS HIDROLÓGIÁJA
Kérdés, mennyi annak a valószínűsége, hogy n nap (például 30 nap) során pontosan k-szor legyen csapadékos nap. Ennek a modellnek megfelelő eloszlásfüggvényt a következőképpen vezethetjük le: Az n napot egyetlen összetett eseménynek tekintve, ennek különböző előfordulásai a és b (csapadékos és csapadékmentes napok) eseményekből álló n tagú sorozatok. Fzek között vannak olyanok, amelyekben pontosan k számú a csapadékos nap van. Egy ilyen sorozat pl. a következő: a. a. a... a.b.b.b.. .b---------,-------'v----------------, (60) k n - k Ennek a speciális sorozatnak az előfordulási valószínűsége az események függetlensége következtében: k n-k p.p.p. ..p.q.q.q. ..q = p q '----------------v______< V- ^ - _J k n-k (61) Ugyanennyi minden olyan sorozat valószínűsége, amelyben pontosan k csapadékos nap, "a" szerepel, csak más sorrendben. Ilyen más sorozat a kombinatorika elemi szabályai szerint Qi) van. A keresett valószínűség tehát Fk”'p-Ok C1 -») n-k (62) Ha azt vizsgáljuk, hogy mi annak a valószinüsége, hogy n nap közül x vagy annál kevesebb napon keresztül van csapadék, megkapjuk az un. binomiális eloszlásfüggvényt: F(x) = pn’ P(k (63) Ennek az eloszlásfüggvénynek nyilván (62) a sűrűségfüggvénye. (Integrál jel helyett azért van összegzésről szó, mert a k valószínűségi változó nem folytonos, csak egész szám lehet. Azt vizsgáljuk, hogy n nap közűi 0, 1, 2, ... k nap csapadékos-e, például 1,2 csapadékos nap értelmetlen!) A fenti úgynevezett binomiális eloszlásból kiindulva könnyen bizonyítható, hogy a csapadékos napokat elválasztó csapadékmentes időszakok t hossza un. exponenciális eloszlást követ. Ennek az eloszlástipusnak általános alakja: x F*(x) = P (t > x) = e C (64) Vagyis, például annak előfordulási valószinüsége, hojy 5 nap van annál hosszabb a csapadék- mentes időszak _ 5 F(5) = P (t > 5) = e 1 A T paraméter a csapadékmentes időszak számtani átlagával jól becsülhető. Az (65) binomiális eloszlás n oo és 0, valamint lim np = constans = 7t- feltétel esetén az F(x) = (66) 91
