Zsuffa István: Műszaki hidrológia (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996)

1. A PASSZÍV VÍZGAZDÁLKODÁS HIDROLÓGIÁJA

úgynevezett Poisson eloszlásba megy át. Megjegyzzük, hogy már viszonylag alacsony n értéknél is a binomiális eloszlás jól közelíthető a Poisson elszólással. Mindkét eloszlás gyakorlati értéke például az öntözőtelepek üzemeltetésében nyilvánvaló.

A véletlen események számának eloszlásánál fontosabb és gyakrabban alkalmazott matematikai tétel szerint:

a független növekményü esemény-folyamatoknál az egyes események között eltelt időszakok - pl. a csapadékmentes időszakok - hosszának vatószinüségi eloszlása exponenciális.

Ez a matematikai tétel tisztán matematikai eszközökkel bizonyítható.

Megjegyezzük, hogy a hidrológiában ennek a tételnek az alkalmazására először Magyarországon került sor:

Dr. Szigyártő Zoltán 1955-ben empirikus utón bebizonyította, hogy a debreceni csapadékadatok alapján a csapadékmentes időszakok hossza exponenciális eloszlást követ.

Tehát ha T-vel jelöljük az események közötti időszakot, pl. a csapadékmentes napok számát, akkor annak valószínűsége, hogy egy csapadékmentes időszak hossza bármilyen x értéknél rövidebb, igy irható:

F(x) = p (T ££ x) = 1 - e" ^ X (67)

ahol a A, paraméter a csapadékmentes időszakok középértékének a reciprokával becsülhető. Utaltunk arra, hogy a felszíni lefolyás, tehát az árhullámok száma már nem feltétlenül független eseményfolyamat, ezért az árhullámok közötti időszakok hosszának a vizsgálata már min< anképpen empirikus ellenőrzést igényel. A vizsgálat eredménye egyben az árhullámok számának Pois, n eloszlására is választ ad.

A száraz időszakok hosszának elemzését a következőképpen hajtjuk végre.

1. Összeállítjuk a statisztikai mintát, azaz az árhullámok csúcsai között eltelt időszakok hosz- szát kiírjuk. Ehhez rögzíteni kell egy bizonyos alapvizhozamot, amely fölötti vízállások árhullámnak minősíthetők. Minden olyan időszakban észlelt vízállás egyetlen árhullámhoz tartozik, amely időszak vízhozamai a bázisértéknél nagyobbak voltak. Tehát amikor a völgyelés a bázis érték fölött marad,

a levonult két, vagy több árhullám egyetlen árhullámnak minősül. Egy-egy ilyen rhullámnak a csúcsa (több összeolvadó árhullám esetén a legmagasabb csúcs) rögzíti a kérdéses semény időpontját. Az igy kijelölt csúcsok közötti időtartamok alkotják a megvizsgálandó statisztika: mintát. Ennek ösz- szeállitására tehát a 44. ábrát célszerű megszerkeszteni.

2. A statisztikai mintából előállítjuk a csökkenő sorrendbe rendezett mintát. A nagyságrendi sorszám és az összes adat számából meghatározzuk minden egyes adatnál nagyobb értékek relativ gyakoriságát, a grafikus eloszlástipus vizsgálatnál alkalmazott képletek alapján

3. A rendezett minta elemeit és a relativ gyakoriságokat az exponenciális eloszlás meghala- dási valószínűségének megfelelü szemilogaritmikus papírra rakjuk fel.

Megvizsgáljuk, hogy a felrakott adatok egyenes körül szőrődnak-e (45. ábra).

Megjegyezzük, hogy a matematikai statisztika ismer numerikus módszereket is az exponencialitás vizsgálatára, amelyet igényesebb vizsgálatnál célszerű alkalmazni.

4. Meghatározzuk a statisztikai minta számtani középértékét (és esetleg szórását). A vonatkozó matematikai tételek szerint ugyanis az exponenciális eloszlás paramétere, a várható értéknek (és a szórásnak is) a reciproka. E paramétert tehát célszerű a statisztikai minta számtani közepének a reciprokával becsülni.

5. A becsült paraméter birtokában számítjuk a kerek x értékekhez tartozó előfordulási valószínűségeket (pl. a legtöbb logarlécen található exponenciális beosztással), ill. a kerek F(x) meg- haladási valószínűségekhez tartozó x értékeket az

In F(x)

X x

(69)

összefüggésből, ahol az F(x) = 1 - F(x) elemi összefüggés alapján bármelyik kerek számú meg- nem-haladási valószínűséghez tartozó érték is kiszámítható (XXI. táblázat).

92