Zsuffa István: Műszaki hidrológia (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996)

1. A PASSZÍV VÍZGAZDÁLKODÁS HIDROLÓGIÁJA

Matematikusok bebizonyították, hogy tetszőleges eloszlású, egymástól független adatokból álló és végtelen nagy statisztikai mintákból kiemelt maximális értékek kizárólag az úgynevezett szélső értékek eloszlás-függvényeit követhetik, azaz ha

p(Q. |Q.) = p(Q.) és NQ = sup (Q.) (i = 1,2,3,... (16)

és n tart a végtelenhez, akkor-e"y

F (x) = p (NQ > x) = e (17)

A fölirt eloszlásfüggvény-formula két eloszlásfUggvény-tipust foglal magában:

y = ax + b esetében Gumbel (18)

y = Alnx + B esetében Fréchet féle (19)

eloszlásfüggvényről beszélünk. A kettő közül a megfelelő elméleti meggondolásokkal nehezen választható ki: ehhez ismerni kellene a Q. valószínűségi változó - árvizszámitás esetén a napi vízhozamok - eloszlását.

A heves vizjárásu folyók évi nagyvizhozamainak jól kell közelíteniük a szélsőértékek eloszlásfüggvényeinek egyikét, hiszen az alapsokaságok elemei, az egyes évek napi vízhozamai egymástól függetlenek, az alapsokaság elemeinek a száma, napi vízhozamok esetén 365 és a közelítés sebességére vonatkozó numerikus vizsgálatok szerint már az 50 független adatból álló halmaz maximuma is a szélső értékek valamelyik típusának megfelelő eloszlású.

1.1.7 A grafikus eloszlástipus-vizsgálat

A cél elérésének, az elméleti valószínűségi eloszlásfüggvény kielégítően pontos megadásának, két akadálya van. Egyrészt a valószínűségelméleti modelljeink nem követik részleteikben a fizikai valóságot. (Például a valószínűségi változót összetevő sok komponens nem biztos, hogy független egymástól és mégis a központi határeloszlás tétele alapján a normális eloszlásfüggvény modelljét vesszük figyelembe.) Másrészt statisztikai mintáink többnyire kicsiny terjedelműek, azaz adatsoraink rövidek. Ilyen kis minták eloszlása a statiszikai sokaság eloszlását, az un. elméleti eloszlásfüggvényt csak nagyon tág határok között közeliti.

A valószínűségelméleti modell és ezzel együtt eloszlástipus megválasztásának, különösen a hidrológiában igen nehéz kérdésére segít objektivebb választ adni az úgynevezett grafikus eloszlástipus vizsgálat.

A szélső értékek (17) függvényének inverzére, az

y=(£>(x) (20)

függvény ábrázolására készítsünk pontsoros nomogrammot. (11. ábra) Rajzoljunk a derékszögű koordináta-rendszer vízszintes tengelye alá egyenletes beosztású oo <C y < + 00 terjedelmű skálát (gyakorlatilag a -2 < y<^ + 7 értéktartományra). Ezután vegyünk föl kerek előfordulási valószínűségi értékeket, például 0,001; 0,002; 0,005; 0,01; — 0,999 értékeket és mindegyik fönti F(x) valószínűséghez számítsuk ki a (20) inverzfüggvény y függvényértékét.

Könnyű belátni, hogy a (17) függvény inverz függvénye

y = (J (x) = -In (-In F(x)) (21)

A (21) összefüggés alapján tehát minden fölvett előfordulási valószínűséghez a megfelelő y értéket kiszámítjuk. Ezeket az y értékeket a derékszögű koordináta-rendszer alatt húzódó, úgynevezett redukált y változó tengelyén kikeressük és a megfelelő (J (x) értéket ezen y érték fölött, a koordináta-rendszer vízszintes tengelyére bejelöljük. Ez a két vízszintes tengely (vagy akár egyetlen-e"y

tengely két beosztással) minden y értékhez hozzárendeli az F(x) = e valószínűségi függvényértéket.

34