Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

3. Valószínűségeloszlások jellemzői

Ennek belátása egyszerű:

' E{[X-E(X)\[aX+b-aE(X)-b]} aE[X-E(X)f a Q~ D2(X)D'-(aX+b) ~ \a\D\X) |a| ~ “ '

(3.27)

Az állítás megfordítása is igaz: ha |g| = l, akkor egyik valószínűségi változó a másik változónak lineáris függvénye.

Gyakorlati számítás céljára mind a kovariancia, mind a korrelációs együttható képlete némileg egyszerűsíthető:

C = E{[X-E(X)\[Y-E(Y)\ = E[XY-E{X)Y-E(Y)X+E{X)E(Y)\ =

= E(XY)-E{X)E{Y),

innen:

E(XY)—E(X)E(Y)

Q ~ D(X)D(Y)

Ahhoz, hogy az X és Y valószínűségi változók közötti kovarianciát és korrelációt ki tudjuk számítani, ismernünk kell az együttes eloszlásukat. Amikor A és Y diszkrét eloszlásúak:

P(X = xd = Pi\ P(Y = yk) -- qk] P(X = xh Y = yk) = rik\ i, k = 1, 2, ..., akkor

C=22[xt-E{X)][yt-E{Y)]r„l = 2 2 E(X)E(Y).

i k i i

Amikor X és Y folytonos eloszlásúak h(x, y) együttes sűrűségfüggvénnyel, akkor C = ff xyh{x, y)dxdy—E{X)E(Y), tehát alkalmaztuk a (2.8) összefüggést.

Abban az esetben, ha X és Y függetlenek, a közöttük levő kovariancia zérus. Ugyanis a független valószínűségi változók szorzatának várható értéke a várható értékek szorzatával egyenlő:

C = E{XY)-E(X)E(Y) = E(X)E(Y)-E(X)E{Y) = 0.

Ennek következtében, ha X és Y függetlenek:

K D(X)D(Y)

Az állítás megfordítása általában nem igaz. Abból, hogy X és Y között a korreláció zérus, általában nem következik, hogy függetlenek! A korrelációs együttható nem annyira a sztochasztikus kapcsolat szorosságát, hanem a kapcsolat linearitását méri!

86