Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)
3. Valószínűségeloszlások jellemzői
így pl., ha X egyenletes eloszlású a ( —1, +1) intervallumban és Y — 5X3—2>X, akkor g = 0, jóllehet az X cs Y valószínűségi változók között függvénykapcsolat van. Amikor X és Y valószínűségi változók között a korrelációs együttható: g = 0, akkor az X és Y változókat korrelálatlanoknak mondjuk. Mint említettük, két valószínűségi változó korrelálatlansága általában nem jelent függetlenséget, ha azonban X és Y együttes eloszlása kétváltozós normális eloszlás, akkor a korrelálatlanságból következik a változók függetlensége. Ugyancsak a korrelálatlanságból következik a függetlenség, ha X és Y két különböző' esemény indikátorváltozója. 3.6. A generátorfüggvény és a karakterisztikus függvény 3.6.1. A generátorfüggvény Ismertetünk két igen hasznos analízisbeli segédeszközt, a generátorfüggvényt és a karakterisztikus függvényt, amelyek segítségével a valószínűségi változók momentumai egyszerűen kiszámíthatók, továbbá független valószínűségi változók összegének eloszlása egyszerűen meghatározható. Ugyancsak hasznosnak bizonyulnak, sőt, szinte nélkülözhetetlenek ezek a függvények különböző határeloszlások meghatározásánál. A generátorfüggvényt egész értékű valószínűségi változók eloszlásának vizsgálatára használjuk. Legyen X valószínűségi változó, amelynek lehetséges értékei a 0,1,2,...,«,... számok, amelyeket rendre p0, px, p2, ..., p„, ... valószínűségekkel vesz fel. Képezzük a G(x) = 2 Pk*k (3.28) k függvényt, amelyet az X valószínűségi változó generátorfüggvényének nevezünk. Mivel a pk számok valószínüségeloszlást képeznek, azaz 2Pk= 1> agenerátorfüggvényt k értelmező hatványsor (amennyiben k megszámlálható sok értéket fut be) |x|<l esetén konvergens, és G(l)=l. Ebből következik, hogy |x|<l esetén a G(x) függvény akárhányszor differenciálható, és G'(x) = 2 kpky*-\ k Amikor ez a hatványsor az x=\ helyen is konvergens, akkor: G'(\) = 2 kpk = E(X), k G"(x) = 2k(kk G"( 1) = 2 k2Pk-2 kPk = E{X>)-E(X). k k 87
