Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

3. Valószínűségeloszlások jellemzői

Amikor X és Y nem függetlenek, akkor a fenti várható érték valamilyen C számmal egyenlő'. A

C=E{[X-ElXj\[Y-E(Y)]} (3.24)

mennyiséget X és Y valószínűségi változók kovarianciájának nevezzük, amely egy vegyes momentum. Amikor Y=X, akkor C = E[X—£(X)]2 = D2(X) X változó szórásnégyzete. A C kovariancia értéke — attól függően, hogy milyen eloszlású valószínűségi változókról van szó — tetszőleges valós szám lehet, tehát C numerikus értékéből a két változó közötti sztochasztikus kapcsolat szorosságára nehéz lenne következtetést levonni. Célszerűbb olyan mértékszámot választani, amely csak valamilyen rögzített határok közé eshet, s amelynek numerikus értéke utalni fog a két változó közötti kapcsolat jellegére, szoros vagy laza voltára. Ilyen mérőszám a korrelációs együttható, amelyet a

E{[X-E(X)][Y-E(Y)\}

8 D(X)D(Y) 1 '

formulával értelmezünk. A korrelációs együttható tehát az X és Y változók kovarianciájának és szórásaik szorzatának hányadosa. A q korrelációs együttható értéke — 1 és +1 között változik, mivel a számlálóban szereplő kovariancia nem lehet nagyobb, mint a szórások szorzata. Ezt az állítást az alábbi tétel felhasználásával bizonyítjuk: ha X és 7 olyan valószínűségi változók, amelyek négyzetének várható értéke létezik, akkor

\E(XY)\ S + \E{X j E(Y2). (3.26)

Ugyanis tetszőleges valós z-ra E(kX—Y)2^0, azaz:

).2E(X2)-2/.E(XY) + E(Y2) ^ 0.

Ez a kifejezés A-ban másodfokú polinom, amelynek nincs valós gyöke, legfeljebb érinti az a tengelyt, azaz diszkriminánsa nem pozitív, tehát:

4[E(XY)f-4E(X2)E{Y-) =s 0,

amiből az állítás már leolvasható.

Amennyiben most a (3.26) összefüggésben X helyébe X-E(X)-et, Y helyébe Y-E(Y)-t írunk, akkor az

E{[X - E{X)\[Y- E(Y)\^ ÍE[X-ElX)f-E[Y-E(Y)f = D{X)D(Y) összefüggést nyerjük, amiből következik, hogy

lel sí.

Abban az esetben, ha az Y valószínűségi változó X változónak lineáris függvénye:

Y=aX+b,

akkor e=l, vagy e= — 1, aszerint, hogy a>0 vagy a<0.

85