Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

1. Valószínűségszámítási alapfogalmak

Számítsuk ki annak valószínűségét, hogy a vízállás 2n számú lépés után visszatér a kiindulási helyére!

1 (2n)! 2~" (ni)2 '

Alkalmazzuk a Stirling-formulát:

A következő példa módszere a modern matematikai statisztikai eljárások szempontjából igen hasznos, ezért különösen ajánljuk az olvasó figyelmébe.

2. példa. Az előző példához kapcsolódva tételezzük fel, hogy a vízállás 2n lépésben visszatért az origóba. Mi a valószínűsége, hogy a vízállás bolyongása során nem érte el vagy nem lépte túl az x=k pontot? A kérdést úgy is fogalmazhatjuk: mi a valószínűsége, hogy n db ( + l)-ből és n db ( — l)-ből álló 2n hosszúságú sorozatnak nincs olyan részletösszege, amely nagyobb, mint k, ha minden lehetséges sorrend egyforma valószínűségű?

Vezessük be a következő szemléletes interpretációt. Tegyük fel, hogy 2« = 8, + 1, +1, —I, +1, —1, — 1, +1, —I esetén a lépések az 1.10. ábrán láthatók.

Feleljen meg a lépéssorozatnak az előző példához hasonlóan egy vektorsorozat. Ily módon egy utat, ún. trajektóriát nyerünk. Az összes lehetséges trajektóriák száma

n db ( + 1) és n db (—1) esetén •

A kérdés most az, hogy hány olyan 2n vektorból álló trajektória rajzolható [amely a (0, 0) ponttól indul és a (2n, 0) pontban végződik], amely nem éri el az x=k magasságú egyenest (1.11. ábra).

34