Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

1. Valószínűségszámítási alapfogalmak

Könnyebb meghatározni azon trajektóriák számát, amelyek elérik vagy metszik az x — k magasságú egyenest. Amikor ezek számát ismerjük, akkor ezt a számot

kivonva |“|,j-ből, az összes trajektóriák számából, megkapjuk a k magasságot el

nem érő trajektóriák számát. Az x = k egyenest elérő (vagy metsző) trajektóriák számát a következő egyszerű elv szerint határozzuk meg. Amikor egy trajektóriát, amely az x=k egyenest eléri, az első elérési pontból kezdve tükrözzük az x=k egyenesre, akkor a tükrözött trajektória (2n, 2k ) pontban végződik. Ez minden olyan trajektóriára igaz, amelyik az x = k egyenest eléri. Minden ilyen tükrözött út megfelel egy olyan vízállás bolyongásának, amely 2n lépés után a 2k pontban található.

Ez ^j = J-féle módon lehetséges. Ezek alapján annak valószínűsége, hogy

n db (+ l)-ből és n db(— 1 )-ből álló 2n hosszúságú sorozatnak megfelelő trajektória elérje vagy meghaladja az x—k magasságú egyenest:

(.-*) („?*)

(?)= (?)'

Ezek alapján annak valószínűsége, hogy egy trajektória nem éri el az x = k egyenest:

(?)-(

2,i )

n 4- k)

L. (

„4)

(?

)

(?)

(1.3)

Megjegyezzük, hogy az (1.3) összefüggés gyakorlati célokra aligha használható, mivel a jobb oldalon álló binomiális együtthatók kiszámítása igen nehézkes. Viszont nagy n esetén igen jó aszimptotikus közelítést nyerhetünk a következő módon:

2" 1

n + k) 2/i! (a!)2

f2/i) (n + k)\(n — k)\ (2n)\

I

[r

V2"

1 2nn

( i 1

n + k

I 1

C:

4

n—k

y2n(n + k)2n(n — k)

(i4)"‘(i4r(i4)(|-4)