Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

5. A matematikai statisztika és annak hidrológiai alkalmazásai

Az X mintabeli középérték várható értéke a statisztikai sokaság középértékével egyenlő, tehát a sokaság középértéke a mintaközepek középértékével egyenlő, tehát X=/i. Ily módon a mintabeli középérték egységnyi valószínűséggel konvergál a sokaság középértékéhez akkor, ha «-*■<».

A mintaközép szórásnégyzete var X = a2/n, ahol a2 a sokaság szórásnégyzete. Ennek alapján feltételezzük, hogy a mintaközepek egymástól függetlenek, jóllehet ez a hidrológiában (elsősorban «>30 esetekben) csak közelítően teljesül. Kis elemszám és egymástól erősen függő mintaelemek esetén már jelentős hibákra számíthatunk. A statisztikai sokaság szórásnégyzetét a minta szórásnégyzetének torzítatlan becslésével (á2) közelítjük.

Az X érték variációs tényezője:

CVx = d/X ]U,

ill. az aszimmetriatényező:

Csy = Cs/]/n.

A mintaközép eloszlása gyakorlatilag legtöbbször normálisnak vehető. □

Amint már említettük, a fenti kifejezések csak akkor alkalmazhatók, ha a vizsgált sorozat elemei egymástól függetlenek.

5.6.2. Az empirikus médián

Ugyancsak az eloszlás elhelyezkedésére nyújt információt az ún. empirikus médián, amely a (II) rendezett mintaelemek közül a középső, ha n páratlan szám.

Amikor n = 2m (páros), akkor a médián a két középső érték számtani közepe, tehát:

= (*: + **+i)/2, ha n--2m, (i*i/2 = X* +1, ha n = 2m +1.

5.6.3. Az empirikus kvantilisek

Amikor 0<oc<l, akkor az X(not-i + 1 mintaelemet az eloszlás empirikus a-kvantili- sének nevezzük. Az eloszlás empirikus a-kvantilise olyan szám, amelynél a mintaelemek 100-a%-a kisebb. A médián az a = y kvantilis. Igen informatív még az Xr,,-, és Xra„-, ún. alsó és felső kvantilisek ismerete. Az empirikus kvantilisek

L-J« Lv]+;

az eloszlás elméleti kvantilisei körül ingadoznak, ha a mintaelemek száma elég nagy.

189