Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

4. A fontosabb valószínűségeloszlások áttekintése

nem biztosan kevesebbel térjen el, mint pl. £=.0,1, akkor a (4.64) összefüggés alapján csak az

1,5

egyenletet kell megoldanunk, amelyből /; = 225 adódik.

Az £ = 0,1 érték a gyakorlatban sokszor nem kielégítő pontosság. Amikor nagyobb pontosságra törekszünk, akkor viszont nagyon megnövekszik a szükséges kísérletek száma. így pl., ha £ = 0,05-ot választunk, a (4.64) egyenletből n — 900 adódik, míg £ = 0,01 esetén (ez már olyan nagy pontosság, amilyenre a gyakorlatban ritkán van szükség) a szükséges kísérletek száma: «=22 500.

4.3.2. A centrális határeloszlás tétele

A központi vagy centrális határeloszlás tétele magyarázza meg annak elméleti hátterét, hogy miért lép fel a természeti jelenségek vizsgálatánál olyan gyakran normális eloszlás. A tétel tartalmának lényege, hogy ha a vizsgált X valószínűségi változó véletlen ingadozása sok olyan egymástól független véletlen komponens eredménye, amelyek külön-külön is meghatározott mértékben hatnak, de hatásuk összegeződik, akkor X normális eloszlású.

A binomiális eloszlás vizsgálatánál láttuk, hogy a binomiális eloszlású X valószínűségi változó /; darab független karakterisztikus változó összege:

X = Aj + +... +x„,

ahol az egyes Aj változók egymástól függetlenül veszik fel a 0 vagy 1 értéket. Kimutattuk, a binomiális eloszlás normális eloszlással közelíthető, ha a p paraméter értéke nem túl kicsi vagy nem túl nagy (más szóval, ha az egyes Aj változók nem olyan természetűek, hogy csaknem mindig egyik értéküket veszik fel), tehát ha az Aj- változók eloszlása nem túlságosan elfajult.

A binomiális eloszlásnak normális eloszlással való közelíthetősége csak speciális — bár nagyon fontos — esete egy sokkal általánosabb törvényszerűségnek. Ezt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy ha igen nagyszámú egymástól független valószínűségi változót adunk össze, akkor bizonyos feltételek teljesülése esetén az összegük normális eloszlású lesz, függetlenül attól, hogy az egyes komponensek milyen eloszlásúak.

A centrális határeloszlás tételének többféle matematikai megfogalmazása ismert. A matematikai statisztikában rendszerint független, egyforma eloszlású komponenseket találunk, ezért először a tételnek azt a változatát ismertetjük, ahol a független komponensek azonos eloszlásúak.

171