Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

4. A fontosabb valószínűségeloszlások áttekintése

Tétel. Amikor Xk, X2,..., Xn azonos eloszlású független és véges szórású valószínűségi változók, E(Xk) = m, D2(Xk) = cг2 (k= 1, 2, «), akkor

A tételt legegyszerűbben a karakterisztikus függvény alkalmazásával bizonyíthatjuk.

Jelöljük rp(7)-vel az Xk — m valószínűségi változó karakterisztikus függvényét. Ekkor az (Xk — m)/a]/n változó karakterisztikus függvénye: (p(tjajn).

Legyen:

A komponensek függetlensége miatt az összeg karakterisztikus függvénye az össze- adandók karakterisztikus függvényeinek szorzata, tehát:

Vezessük be a í/erj/n =u jelölést, és fejtsük Taylor-sorba a <p(u) függvényt:

, 4 , q>'(0) , q>"(0)

<p{u) = 4>(OH----------—- u-1--------------------------------------1Г+ ....

1 !

2!

A karakterisztikus függvény & —0 helyen vett deriváltjai kifejezhetők a (3.42) összefüggés alapján a momentumok segítségével:

. , Xk — m

ahol a,- az

а У n

‘2 2!

változó /-edik momentuma.

k\

(Xk~m\ l aVn )

Ezek alapján:

Tehát:

<P

lim

(4.66)

A normális eloszlás tárgyalásánál már láttuk, ez a függvény éppen a standard normális eloszlás karakterisztikus függvénye.

172