Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

4. A fontosabb valószínűségeloszlások áttekintése

A (4.62) összefüggésben szabad az egyenlőtlenség mindkét oldalát n-nel osztani anélkül, hogy a valószínűség megváltozzék, azaz

P

P

0,997.

(4.63)

Ez azt mutatja, hogy igen nagy valószínűséggel a relatív gyakoriság kevesebbel tér el az ismeretlen p valószínűségtől, mint 3 \!pqjn.

Figyelembe véve, hogy a pq—p{\ — p) kifejezés értéke nem lehet nagyobb, mint 1/4, gyakorlatilag biztosra vehetjük, hogy

3 _ 1,5

2]//j |/n

(4.64)

azaz csaknem biztos, hogy a p valószínűség a

k 1,5 , k 1,5------------es —b —j=

n |, „ n j/„

számok közé esik.

Ez a hibahatár akkor tekinthető jónak, ha az ismeretlen valószínűség 1/2 köziében van. Amikora p valószínűség lényegesen eltér 1 /2-től, akkor pq is kisebb, mint 1/4, tehát a relatív gyakoriság szórása ^pq/n < 1/2/Z7 (4.17. ábra).

Ilyen esetben a p valószínűség helyett a /c/n relatív gyakoriság értékét írjuk, és

. , , .. , k n — k

q=l—p helyebe 1-----=--------et írunk,

n n

4.17. ábra így fpq/n % l/n \k(n — k)/n ■

Még jobb becslést kapunk a szórásra akkor, ha a gyök alatti kifejezés nevezőjében n helyett n— 1-et írunk.

Igen nagy valószínűséggel, gyakorlatiig úgyszólván biztosan igaz tehát, hogy

P

3 i f k(n — k) n ! n — 1

Ugyanis az f(p)=p(\ — p) függvény maximumát csak ott veheti fel, ahol f'(p) = = 1—2p = 0, tehát a p=l/2 helyen. Mivel f'\p)=—2, valóban maximumról van szó.

Amikor arra akarunk válaszolni, hogy mekkorára kell 77-et, a kísérletek számát választani ahhoz, hogy a k/n relatív gyakoriság az ismeretlen p valószínűségtől csak170