Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 5. Nevezetes valószínűségeloszlások
« n Ptt = k) nt = k-D ipV k «! k\(n — k)\1 k~ 1 \pk~i <7"-* + 1 «! (fc-!)!(«-£+1)! <7 n-k+1 p k 1 —p Az eloszlást alkotó valószínűségek nem csökkennek, ha « —&+1 p 1 ~P >1 (ha az előbbi hányados 1-nél kisebb, akkor az eloszlást alkotó valószínűségek csökkennek). Azaz k^(n+l)p. Ha az (n+l)p egész, akkor a hányados k = (n+l)p esetén 1, vagyis P(£ = (n+\)p) = P(£, = (« + \)p— 1)- ezek a legnagyobb valószínűségek az eloszlásnak két módusza van, md = (« + 1 )p— 1 és md = (n + 1 )p. Ha az (« + \)p nem egész, akkor az eloszlást alkotó valószínűségek az (n + l)/?-ben foglalt legnagyobb egész számig nőnek (utána csökkennek); az eloszlás unimodális, és a módusz az («+ \)p egész része, azaz: md = [(«+ 1 )p]. Ha « nagy, akkor - mivel 0<p< 1 - az eloszlás módusza az eloszlás várható értékéhez (np-hez) közeli egész szám. Ez azt jelenti, hogy a binomiális eloszlású valószínűségi változó legnagyobb valószínűséggel a várható értékéhez közeli értékét veszi fel. A gyakorlati jelentése pedig a következő: Ha egy kísérlet során valamely A esemény p valószínűséggel következik be, és ezt a kísérletet «-szer egymástól függetlenül megismételjük, akkor nagy n esetén annak a legnagyobb a valószínűsége, hogy az A esemény közel np-szer, vagyis a kísérletek p-edrészében következik be. Példa. Egy tétel áru 5% selejtet tartalmaz. A tételből 10 elemű mintát veszünk vissza tevéssel. a) Hány selejtet tartalmaz a 10 elemű minta a legnagyobb valószínűséggel, és mekkora ez a valószínűség? b) Mi a valószínűsége annak, hogy a minta legalább 1 és legfeljebb 3 selejtet tartalmaz? c) Adjuk meg a mintában levő selejt számának várható értékét és szórását! Megoldás. Legyen a £, valószínűségi változó a 10 elemű mintában levő selejt darabszáma. Mivel a mintát visszatevéssel vettük, ezért a £ binomiális eloszlású, paraméterei: p = 0,05, «=10. 83
