Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

y;

y'

y‘

1

i

1

1

/y-F(x) y

/y-F(x) 1

■ ___, y-F(x)

2

/ 2 y i

TTí 2

y/ 1 1

1 1 1

0

me x 0

ol me ß x 0

me x

15. ábra

A médián három különböző esetét a 15. ábra szemlélteti.

Ha az F az ^ értéket nem „ugorja át”, akkor a médián az a valós szám, melynél

kisebb, illetve nagyobb vagy egyenlő értéket ugyanakkora valószínűséggel vesz

fel a valószínűségi változó. Folytonos valószínűségi változó esetén az x = me egyenes felezi a sűrűségfüggvény grafikonja alatti síkidom területét.

Könnyen belátható, hogy szimmetrikus eloszlás esetén me = M(£).

A mediánhoz hasonlóan értelmezhetjük a /?-kvantilist. A p-kvantilis az eloszlást

p: (1 —p) arányban osztja ketté. A médián esetén p = ^. A p-kvantilisnél - xp ugyanaz a három eset fordulhat elő, mint a mediánnál.

B) A módusz

A várható érték az eloszlás centruma, a médián pedig a közepe. Ha egy eloszlással kapcsolatban az is lényeges, hogy a valószínűségi változó milyen értéket, ill. milyen értékéhez közeli értékeket vesz fel viszonylag nagyobb valószínűséggel, akkor egy újabb jellemző számértéket is meg kell adnunk, melyet módusznak nevezünk. A mó- duszt md-ve\ jelöljük.

Definíció. A diszkrét valószínűségi változó móduszának nevezzük a valószínűségi változó azon lehetséges értékét, melyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint az ezt közrefogó értékeit. Folytonos valószínűségi változó móduszának pedig a sűrűségfüggvény lokális maximumhelyeit nevezzük.

Ha a valószínűségi változónak csak egy módusza van, akkor unimodális eloszlásról beszélünk. (A folytonos valószínűségi változó móduszának megállapítása szélsőértékvizsgálattal történik.)

78