Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

C) A ferdeség és a lapultság

A ferdeségi és a lapultsági együtthatóval általában a folytonos eloszlást, illetve a valószínűségi változó sűrűségfüggvényét jellemezzük.

Szimmetrikus eloszlás esetén a folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye szimmetrikus, ekkor a £ létező páratlan rendű centrális momentumainak mindegyike 0. Az első centrális momentum - ha létezik - bármely eloszlás esetén 0, így az eloszlás ferdeségének jellemzésére ez még nem alkalmas. A ferdeségi együtthatót yi-gyel jelöljük.

Definíció. A valószinüségi változó harmadik centrális momentumának és szórása harmadik hatványának hányadosát ferdeségi együtthatónak nevezzük; azaz

y i =

M([£~M(£)]3)

D\0

Részletesebb vizsgálattal megmutatható, hogy unimodális eloszlás esetén a folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvényének grafikonja yi <0 esetén a módusztól balra; yi>0 esetén a módusztól jobbra hosszan elnyúlik.

A lapultsági együtthatót y2-vel jelöljük. Definícióját a negyedik centrális momentummal és a szórással adjuk meg.

Definíció. Lapultsági együtthatónak nevezzük a következő számot:

A/([£-M(On ,

*-----Aö 3'

A lapultsági együtthatót úgy értelmezzük, hogy a leggyakrabban előforduló ún. normális eloszlás (1. 5.6) esetén 0 legyen; ezért minden folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvényének lapultságát a vele megegyező várható értékű és szórású normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvényével hasonlítjuk össze. Ha yz > 0, akkor a £ sűrűségfüggvénye általában magasabban „ugrik ki” és csúcsosabb, mint a megfelelő normális eloszlású valószínűségi változóé.

79