Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

Ha a £, diszkrét és lehetséges értékei xu x2,..., x„,... (véges számú érték is lehet), akkor

M(£) = I^(í=4

i

a teljes valószínűség tételének (1. 3.3.2) felhasználásával

X*,•/>(£=*,) - z*«( i m = x.w/w) =

= (£*/>(£ =

ebből a feltételes várható érték definícióját (M{£,\Bk) létezik, k= 1, 2,..., n) felhasználva M(£) is létezik, és

M(0 = X M(Í|A)W.

fc = 1

Ha az F(x\Bk) eloszlások folytonosak, akkor

M(£) = | xf(x)dx = | x( Z f(x\Bk)P( Bk) \ dx

— oo — oo \fc =1 /

(felhasználtuk, hogy /(x) a teljes eseményrendszer eseményeire vonatkozó feltételes sűrűségfüggvényekkel is megadható, 1. 4.2.1 C)),

7 Z f(x\Bk)P(Bk)\dx = Z (7 */l*IÄ)<kW»),-oo \fc=l / fc = 1 \-oo /

a feltételes várható érték definíciójának felhasználásával

m(£) = z Ma w(*ojt=i

Határozzuk meg M(£)-t abban az esetben is, ha a ^ és rj együttes eloszlása folytonos! Ekkor

= j x/(x) dx = | x( j f(x\y)g(y) dy\ dx

— 00 — 00 \ — 00 /

(a teljes valószínűség tételének folytonos megfelelőjét használtuk fel, 1. 4.2.2 C)),

69