Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői
+ 00 í * — oo j f(x\y)g(y) dy ) + 00 / + 00 * - í f — oo \ — oo xf{x\y) dx \g(y) dy, ebből az M(^\t]=y) definíciójának felhasználásával M(0= T M{Z\r, = y)g(y)dy, — oo (ahol g(y) a feltételben szereplő valószínűségi változó sűrűségfüggvénye). Térjünk vissza az előző problémához! Ha a Bk,B2,..., B„ események teljes eseményrendszert alkotnak, és az M(£\Bk) (k= 1, 2,rí) létezik, akkor az M{£,\Bk) érték a Bk eseménytől függ. Rendeljük hozzá a teljes eseményrendszert alkotó események mindegyikéhez a £, valószínűségi változó szóban forgó eseményre vonatkozó feltételes várható értékét. Ekkor a teljes eseményrendszer eseményterén egy valószínűségi változót értelmeztünk, jelöljük ezt £-val. A £ lehetséges értékei: M(£,\B\), M(£\B2),M(^\B„), ezek bekövetkezési valószínűségei pedig: P(Bi), P(B2),..., P(Bn). Az előzőkben azt kaptuk (diszkrét és folytonos feltételes eloszlás esetén is), hogy M(£) = £ M(í\Bk)P(Bk). k= 1 A jobb oldal a { lehetséges értékeinek ezek bekövetkezési valószínűségével súlyozott közepe, vagyis a ( várható értéke; azaz M(0 = M(í). Ha a^ésrj valószínűségi változók együttes eloszlása folytonos, akkor adott £, esetén az M{ó,\rj=y) feltételes várható érték azy értékétől függ. Ha az _y-t végigfuttatjuk az r] lehetséges értékein, és minden {>/=>'} eseményhez hozzárendeljük az M(f\rj=y)-t, akkor egy valószínűségi változót értelmezünk, jelöljük ezt M{é,\rf)-\a\. Belátható, hogy a korábban kapott M(0 = 7 M(f\n = y)g(y)dy jobb oldalán levő improprius integrál az M{f \ g) valószínűségi változó várható értéke; azaz Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy ha a feltételek egy eseményterének minden eleméhez hozzárendeljük egy t, valószínűségi változónak a szóban forgó feltételre 70
