Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

Nem bizonyítjuk a két független valószínűségi változó szorzatának várható értékére vonatkozó tételt sem.

5. Tétel. Ha két független valószínűségi változó várható értéke létezik, akkor a valószínűségi változók szorzatának várható értéke az egyes valószínűségi változók várható értékének szorzata; azaz ha £ és tj függetlenek, akkor

M(íri) = M(OM(r,).

D) A feltételes várható érték

A 'i valószínűségi változó B eseményre vonatkozó feltételes várható értékének definíciója - diszkrét, illetve folytonos feltételes eloszlás esetén - a £, várható értékének definíciójához hasonló (1. 4.3.1. A)-B)).

Definíció. A £ valószínűségi változó B eseményre vonatkozó feltételes várható értékének nevezzük, és M(£| ő)-vel jelöljük diszkrét feltételes eloszlás esetén a £ lehetséges értékeinek ezek B-re vonatkozó feltételes valószínűségeivel súlyozott közepét, folytonos eloszlás esetén pedig az

+ OO

J xf(x\B)dx

improprius integrált (ahol f(x\B) a é, B-re vonatkozó feltételes sűrűségfüggvénye).

Diszkrét valószínűségi változó esetén, ha a £ lehetséges értékei xi, x2,..., x„,... (véges számú érték is lehet), akkor

M(fB) = X XiP(f = x,\B)

i

(ha M(ó\B)-t sor adja, akkor létezésének feltétele a sor abszolút konvergenciája).

Ha a £ és rj együttes eloszlása folytonos, akkor a £-nek az {rj=y}-ra vonatkozó feltételes várható értéke:

+ 00

Af(fln=y)= j xf(x\y) dx

— oo

(ha az improprius integrál abszolút konvergens).

Tekintsünk egy é, valószínűségi Változót, melynek a Bi, B2,..., B„ teljes eseményrendszert alkotó eseményekre vonatkozó feltételes várható értékei léteznek. Határozzuk meg a £ várható értékét!

68