Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

C) A várható érték tulajdonságai

1. Tétel. A konstans várható értéke önmaga; azaz ha c konstans, akkor

M(c) = c.

Bizonyítás. Ha a é, valószínűségi változó csak a c értéket veszi fel, akkor P{£, = c)= 1. A definíció szerint M(c) = c ■ 1 = c.

A következő tételt csak n különböző értéket felvehető diszkrét valószínűségi változó esetén bizonyítjuk be, de általánosan érvényes.

2. Tétel. Ha a £ várható értéke létezik, akkor a £ konstansszorosának várható értéke a £ várható értékének konstansszorosa; azaz

M(cO = cM(a

ahol c konstans.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy c=#=0. Ekkor ha a í lehetséges értékei xi, x2, ..., x„, akkor a cö, lehetséges értékei cxi, cx2,..., cx„; az ezekhez tartozó valószínűségek pedig változatlanul pi,p2, ..., pn. A várható érték definíciója szerint a cd; lehetséges értékeinek a bekövetkezési valószínűségekkel súlyozott közepe:

M(c£) = X cxiPí = c t xíPí =

i=l i=l

A tétel c = 0-ra is érvényes, hiszen ekkor cd; csak 0 értéket vesz fel, így várható értéke 0(1. tétel), és ez az M(é) 0-szorosa.

A következő tétel két valószínűségi változó (£ és rj) összegének várható értékére vonatkozik. Ezt a tételt nem bizonyítjuk.

3. Tétel. Ha két valószínűségi változó várható értéke létezik, akkor az összegük várható értéke az egyes valószínűségi változók várható értékének összege, azaz

M{£ + r,) = M(0 + M(r,).

A 3. tétel és a teljes indukció felhasználásával bizonyítható a következő tétel.

4. Tétel. Ha a £i, £2, valószínűségi változók várható értéke létezik, akkor a valószínűségi változók összegének várható értéke az egyes valószínűségi változók várható értékének összege; azaz

A/(í i + 6+ ... + &,) = M(6) + M(6)+-.. + M(6).

67