Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői
ki. Észrevehetjük, hogy ha az / sűrűségfüggvény egy (a, ß) intervallumon pozitív, egyébként pedig 0, akkor az (a, ß) intervallumon kívül az x/(x) is 0, így ekkor + 00 ß j x/(x) dx = J f(x) dx. — oo a Az előzőkben ismertetett eljárás nem bizonyítás, mivel a tapasztalati alapokra épít. A számtani közép stabilitása matematikailag is bebizonyítható (1. majd 6.2). Definíció. Folytonos £ valószínűségi változó várható értékének nevezzük az + 00 | xf( x ) dx improprius integrált, ahol/a £, sűrűségfüggvénye. (Csak abban az esetben beszélünk várható értékről, ha a + oo J |x|/(x) dx improprius integrál is létezik.) A diszkrét valószínűségi változónál ismertetett mechanikai analógiától függetlenül is észrevehetjük, hogy a folytonos £ várható értéke a sűrűségfüggvény grafikonja alatti síkidom súlypontjának x koordinátájával egyenlő, mivel e síkidom területe egységnyi. Ha ennek a síkidomnak van szimmetriatengelye (ekkor az eloszlás szimmetrikus), akkor ezen rajta van a síkidom súlypontja, és - a geometriai analógia alapján - a szimmetriatengely az M(£) helyen metszi az x tengelyt. Példa. Az R sugarú céltáblára leadott lövések esetén legyen £, a találati pont és a céltábla középpontja távolságának mérőszáma. Számítsuk ki a £, várható értékét! Megoldás. A £, sűrűségfüggvényét a 4.2.2-ben már meghatároztuk. Mivel az / sűrűségfüggvény a [0, 7?] intervallumon kívül csak 0 értéket vesz fel, ezért az M(£)-t megadó improprius integrál az x/(x) [0, 7?] intervallumon vett integráljával egyenlő. Ez azt jelenti, hogy ha az R sugarú céltáblára véletlenszerűen lövéseket adunk le, 2 akkor a találati helyek középponttól való távolsága a - 7? körül ingadozik. 66 R 9 9 R 9 rv3lR 9 J?3 9 M(^) =\x — xdx = —z[x2dx= — — = — — = - R í R2 R 0 /?2 L 3 J0 R2 3 3
