Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői
(de ekkor csak abban az esetben beszélhetünk várható értékről, ha ez a sor abszolút oo konvergens; azaz a ]T \xt\pi sor konvergens). Í = 1 A valószínűségi változó várható értékével analóg mechanikai fogalom a tömegeloszlás súlypontjának (tömegközéppontjának) koordinátája. Nézzük meg ezt részletesen az n különböző értéket felvevő diszkrét valószínűségi változó esetén! Ekkor n M(0 = Y XiPi. A t, valószínűségeloszlásának megfelelő tömegeloszlás esetén az Xi i = 1 pontban elhelyezett m; tömeg mérőszáma pt (/= 1,2,..., rí). A mechanikából ismert, hogy a pontrendszer súlypontjának (tömegközéppontjának) koordinátája: n Y mixi _ _ j = l i = 1 n ahol Z egységnyi, és /rt; mérőszáma pt; így M(£) = xs. i= 1 Példa. Legyen a valószínűségi változó egy kocka feldobásakor kapott pontszám. Határozzuk meg é, várható értékét! Megoldás. <^= 1,2, 3,4, 5, 6; és minden lehetséges érték bekövetkezési valószínűsége 1 6' M(0 = l4 + 2^+3 4 + 4 4+5-7 + 64=3’5- 6 6 6 6 6 6 Ez azt jelenti, hogy ha egy szabályos játékkockát egyre többször feldobunk, és minden dobás után kiszámítjuk az addig kapott pontszámok számtani közepét, akkor a középértékek bizonyos stabilitást mutatnak, a 3,5 körül ingadoznak. A £ lehetséges értékei is a 3,5 körül ingadoznak, bár ingadozásuk nagyobb, mint a számtani középé. B) Folytonos valószínűségi változó várható értéke A definíció megadása előtt nézzük meg, hogy ismert eloszlású folytonos valószínűségi változóra vonatkozó független kísérletek során a megfigyelt értékek számtani közepére milyen érték várható! Legyen a folytonos £ valószínűségi változó / sűrűségfüggvénye egy (a, ß) nyílt intervallumon pozitív, egyébként 0 (a £ csak (a, /?)-beli értékeket vehet fel). Végezzünk el a £-re vonatkozóan n számú független kísérletet. Legyenek a £-re kapott - nem feltétlenül különböző - értékek, az ún. mintaelemek xu *2, xn. Osztályozzuk a 64
