Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői
összefüggést x szerint deriválva - ahol deriválható A sűrűségfüggvények felhasználásával (Df azon x értékek halmaza, ahol adott y esetén az F(x\y) feltételes eloszlásfüggvény deriválható; h a é, és 77 együttes sűrűségfüggvénye, g pedig az 77 sűrűségfüggvénye). Látjuk, hogy Df azon x értékek halmaza, ahol adott y érték esetén a £ és 77 együttes sűrűségfüggvénye, valamint az 77 sűrűségfüggvénye értelmezett, és az 77 sűrűségfüggvénye pozitív. Ha az Ax\y) értelmezett, akkor h(x, y) = Ax\y)g(y)Ha y] befutja a lehetséges értékeit, akkor azokon az (x, y) helyeken, ahol h(x, y) értelmezett és g(y) > 0, a £ és rj együttes sűrűségfüggvénye a £ valószínűségi változó {7 = y}-ra vonatkozó feltételes sűrűségfüggvényének és az tj sűrűségfüggvényének + 00 szorzata. Ha g(y) = 0, akkor h(x, y) is 0, mivel g(y) = j h(x,y)dx (1. 4.2.2 B)). “ 00 Tudjuk, hogy a £ sűrűségfüggvénye Ax) = j h(x, y)dy, — 00 ezért Ax) + 00 í Ax\y)g(y)dy. Ez a teljes valószínűség tételének (1. 3.3.2) folytonos megfelelője. Az 77-nak a {£ = *} eseményre vonatkozó [<7(y|x)] feltételes sűrűségfüggvénye az /(x|y)-hoz hasonlóan adódik, ha h(x, y) értelmezett, és a ^ sűrűségfüggvénye [/(x)] nem 0: g{y\x) = Kx,y) Ax) ' 61 82H(x,y) ax ^ rfGQQ dy VxeZ)/ esetén /foly) = f 0OO
