Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői
C) A feltételes sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó valamely eseményre vonatkozó feltételes eloszlásának folytonossága és a feltételes sűrűségfüggvény definíciója a 4.2.2 A) pontjában megadotthoz hasonló. Definíció. A £ valószínűségi változónak a B eseményre vonatkozó feltételes eloszlását folytonosnak nevezzük, ha a £ valószínűségi változó B-re vonatkozó feltételes eloszlásfüggvénye integrálfüggvény, azaz van olyan /függvény, melyre X VxeR esetén J f(t\B)dt = F\x\B). — 00 Ezt az / függvényt a £, valószínűségi változó B eseményre vonatkozó feltételes sűrűségfüggvényének nevezzük. A definícióból következik, hogy ha az F(x\B) az x helyen differenciálható, akkor F\x\B) = f[x\B), ahol a feltételes eloszlásfüggvény nem differenciálható, ott a feltételes sűrűségfüggvény nem értelmezett. Ha a Bi, B2,... , B„ pozitív valószínűségű események teljes eseményrendszert alkotnak, és valamely x helyen léteznek az f{x\Bi) = F’(x\Bi) sűrűségfüggvény-értékek, akkor itt a £ sűrűségfüggvénye is értelmezett. Ugyanis n VjceR esetén F(x) = £ F(x\Bi)P(Bl) i= 1 (1. 4.2.1 C)) a szóban forgó x helyen deriválható, és [E’(a:) = /(•*)] f[x) = X j{x\Bi)P{Bi)i=l vagyis egy valószínűségi változónak valamely teljes eseményrendszert alkotó pozitív valószínűségű eseményekre vonatkozó feltételes sűrűségfüggvényeinek a feltétel valószínűségével súlyozott közepe a valószínűségi változó sűrűségfüggvényét adja. Ha a ^ és az g valószínűségi változók folytonosak, akkor a 4.2.1 C)-ben megismert dH(x, y) F(x\y) = _dy_ dGjy) dy 60
