Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

vagyis a f és r/ együttes sűrűségfüggvénye az együttes eloszlásfüggvényük vegyes parciális deriváltja. Ahol a feltétel nem teljesül, ott h nem értelmezett.

Ha a f és az rj valószínűségi változók függetlenek, akkor V(x, y)eR2 esetén H(x,y) = F(x)G(y) (1. 4.2.1), ahol F a f, G az g eloszlásfüggvénye. A H vegyes parciális deriváltja h, valamint F=f G' = g felhasználásával

V(x, y) e Dh esetén h(x, y) = f(x)g(y);

vagyis két független valószinűségi változó együttes sűrűségfüggvénye a két valószínűségi változó sűrűségfüggvényének szorzata.

Bizonyítás nélkül megemlítjük még a következőket: V(x, y) e Dh esetén h(x, y) ^ 0. A H eloszlásfüggvény határértékre vonatkozó tulajdonságaiból, valamint az eloszlás- és sűrűségfüggvények kapcsolatából következik, hogy

+ 00 +00 í J A-l,

J h(x, y)dx = g(y), ill. J h(x, y)dy = /(x).

— 00 — 00

Végül megadjuk a fi, f2,..., f„ valószinűségi változók együttes folytonosságának és sűrűségfüggvényének definícióját, továbbá azt is, hogy független valószínűségi változók esetén hogyan kapható meg a sűrűségfüggvény.

Definíció. A fi, f2, •••, fn valószínűségi változók együttes eloszlását folytonosnak nevezzük, ha együttes eloszlásfüggvényük (H) integrálfüggvény; vagyis van olyan h n változós függvény, melyre

X\ x2 Xn

V(xi,x2,... ,x„)eR" esetén j J ... J h = H(xi, x2, ..., x„).

— 00 — 00 - 00

Ezt a h függvényt a fi, f2,..., f„ valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvényének nevezzük.

A két valószínűségi változóhoz hasonlóan kapható, hogy n valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvénye az együttes eloszlásfüggvényük n-edrendü vegyes parciális deriváltja, valamint az is, hogy független valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye az egyes valószínűségi változók sűrűségfüggvényeinek szorzata.

59