Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői
A folytonos tömegeloszlás analógiáját felhasználva - a valószínüségeloszlásának megfelelő tömegeloszlás esetén f(x) az x pontbeli tömegsűrüség, az / sűrűségfüggvény valamely intervallumon vett integrálja pedig az egyenes ezen szakasza mentén elhelyezkedő tömeg mérőszámát adja meg. Példa. A céltáblás kisérlettel kapcsolatban értelmezett valószínűségi változó sűrűségfüggvényének felhasználásával, számítsuk ki annak valószínűségét, hogy a találati pont az R sugarú céltáblával koncentrikus rí, r2 sugarú (0 < rí < r2 < R) körökkel határolt körgyűrűbe esik! Megoldás. (Az eloszlásfüggvény segítségével ugyanezt a valószínűséget határoztuk meg.) B) Több valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvénye Két valószínűségi változó esetén az alkalmazások szempontjából legfontosabb az az eset, amikor a ^ és az //, valamint ezek együttes eloszlása [a (£, rj) vektorváltozó eloszlása] folytonos. Definíció. A £ és rj valószínűségi változók együttes eloszlását folytonosnak nevezzük, ha együttes eloszlásfüggvényük (//) integrálfüggvény; azaz van olyan h kétváltozós függvény, melyre x y V(x, y) e R2 esetén J J h = H(x, y). — 00 —oo Ezt a h függvényt a £ és rj valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvényének nevezzük. A mechanikai analógia a következő: - a £ és rj együttes eloszlásának megfelelő xy sík menti tömegeloszlás esetén - a h(x, y) érték az (x; y) pontbeli tömegsűrűség, a h sűrűségfüggvény valamely T {xy síkbeli) tartományon vett integrálja pedig ezen a tartományon elhelyezkedő tömeg mérőszámát adja meg. Az analízisbeli ismereteink alapján a h sűrűségfüggvény definíciójából következik, hogy ha a H eloszlásfüggvény mindkét változójának folytonosan differenciálható függvénye, akkor h(x,y) d2H(x, y) dx dy 58 '2 l> ^ i r ~lr2 2 2 2 2 T>1 \ 2 1 2 r2 rí r2-ri A>i ú € ú r2) = 2 xdx = x ~ —7---? = ----5— • . i?2 R2 ri i?2 Ä2 7?2
