Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

F(xi,x2, ...,x„\yi,y2,...,yk) =

dkH(xu x2,..., x„,yi,y2, ...,yk)

_______dyidy2 ...8yk_______

d

kG(yuy2, ...,yk) dy\dy2 ... 8yk

* 4.2.2. A sűrűségfüggvény

A) Egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

Az eloszlásfüggvény fogalmának ismeretében már megadhatjuk a folytonos valószínűségi változó definícióját.

Definíció. A £ valószínűségi változót és annak eloszlását is folytonosnak nevezzük, ha a í eloszlásfüggvénye integrálfüggvény; azaz van olyan / függvény, melyre

X

Vx e R esetén J / = F(x).

— 00

Ezt az / függvényt a £, valószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük.

Mivel a folytonos valószínűségi változó Feloszlásfüggvénye integrálfüggvény, ezért F folytonos. Ebből az eloszlásfüggvény 3. tulajdonsága alapján következik, hogy a folytonos valószínűségi változó minden egyes lehetséges értékét 0 valószínűséggel veszi fel, bár nyilvánvalóan ezek egyike sem lehetetlen esemény.

Vizsgáljuk meg a sürüségfüggvény és az eloszlásfüggvény közötti kapcsolatot! A sűrűségfüggvény definíciója szerint minden valós x-re

Fix) = J /;

— oo

vagyis az eloszlásfüggvény a sűrűségfüggvény integrálfüggvénye.

Az analízisből ismert, hogy ha az F függvény egy / függvény integrálfüggvénye, és F mindenütt deriválható, akkor

f=F\

azaz a sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja. Ha F egyes helyeken nem differenciálható, akkor ezeken a helyeken az / nem értelmezett.

55