Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői
Példa. A 4.2.1 pont 2. példájában meghatároztuk a céltáblás kísérlettel kapcsolatban értelmezett £, valószínűségi változó eloszlásfüggvényét (£ a találati pontnak az R sugarú céltábla középpontjától való távolságának mérőszáma). Határozzuk meg a sűrűségfüggvényét! Megoldás. Azokon az x helyeken, ahol Fderiválható /(x) = F'(x), de Fáz F-nél nem deriválható (töréspontja van), ezért itt f nem értelmezett. A sűrűségfüggvény helyettesítési értékei: /(*) = 0, ha x^O, 2 —z x, ha 0<x<F, R* 1 2 0, ha x> R. A 12. ábrán a sűrűségfüggvény képét láthatjuk. A SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAI 1. A sűrűségfüggvény értéke nem lehet negatív; azaz Vx e Df esetén /(x) Sí 0. Bizonyítás. Mivel az eloszlásfüggvény monoton növekedő (2. tulajdonság), ezért azokon a helyeken, ahol F deriválható (ezeknek a halmaza Df, az / értelmezési tartománya), deriváltja nemnegatív. Tehát Vxe Df esetén F'(x) = /(x) Sí 0. + 00 2. Az f sűrűségfüggvény j f improprius integrálja 1. — 00 Ez geometriailag azt jelenti, hogy az / grafikonja alatti síkidom területe egységnyi. + 00 X Bizonyítás, f / = lim J / = lim F= 1. (Felhasználtuk az / sűrűségfüggvény defi-00 + °° -00 + °° nícióját, majd az F eloszlásfüggvény 4. tulajdonságát.) Nézzük meg hogyan számíthatunk valószínűségeket a sűrűségfüggvény segítségével! Azt már tudjuk, hogyan számítható ki különböző események valószínűsége az F eloszlásfüggvény segítségével. A következőkben felhasználjuk ezt, valamint az / sűrűségfüggvény definícióját; továbbá azt is, hogy a folytonos £ valószínűségi változó minden egyes értékét 0 valószínűséggel veszi fel. Ekkor P(£<a) = PtfZa) = F(a) = j f;-oo 56 12. ábra
