Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

Ha a £ és rj valószínűségi változók függetlenek, akkor V(x, y) e R2 esetén H(x, y) = — F(x)G(y), ezért

vagyis £-nek az {rj=y}-ra vonatkozó feltételes eloszlásfüggvénye a £ eloszlásfüggvénye.

Bebizonyítható, hogy a feltételes eloszlásfüggvényre is teljesülnek az eloszlásfüggvénynél megismert tulajdonságok.

Több valószinűségi változónak több feltételre vonatkozó feltételes eloszlásfüggvényének értelmezésekor is két alapesetet különböztetünk meg: ha a feltételt jelentő események valószínűsége pozitív, illetve ha 0.

Definíció. A £1, £2, •••,&■ valószínűségi változóknak az {rj\ —yi), {g2= y2), ..{t]k=yk} eseményekre vonatkozó feltételes eloszlásfüggvényének nevezzük azt a függvényt, melyre

V(xi, x2,x„) 6 R" esetén F\xi, x2, x„\yu y2, ..., yk) =

= P(6<xi, í2<x2,..., £,n<Xn\rii=yu r/2=y2,gk=yk),

ha a feltételt jelentő események valószínűsége pozitív. Ha a feltételek valószínűsége 0, akkor pedig

V(xi, x2,..., x„) e Df esetén F(xu x2,x„\yu y2,yk) = = lim lim ... lim P(£ 1 < xu £2 < x2,< x„\yx iS r/i <

áyi -»0 J v’2_+0 Ayk~>0

< yí + Ay1,y2 g t]2 < y2 + zly2, ...,yk ^ rjk < yk + 4yk)

(ahol természetesen feltételezzük, hogy a határérték létezik).

Ha a feltételek valószínűsége 0, akkor - a £-nek az {rj=y}-ra vonatkozó feltételes eloszlásfüggvényéhez hasonlóan - a feltételes eloszlásfüggvény adott helyhez tartozó értéke a valószínűségi változók (H) együttes és a feltételben szereplő valószínűségi változók (G) együttes eloszlásfüggvényének segítségével is megadható, ha ezek az eloszlásfüggvények az adott helyen a feltételben szereplő változók szerint parciálisán differenciálhatok, és itt a feltételben szereplő valószínűségi változók eloszlásfüggvényének parciális differenciálhányadosa nem 0. Ekkor

54