Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

f(jc|.y) = lim P(t<x\y^rj<y + Ay)

Ay—0

(ahol természetesen feltételezzük, hogy a határérték létezik).

A következőkben csak avval az esettel foglalkozunk, ha a £, és rj együttes eloszlás- függvénye folytonos (ekkor a £ és az rj eloszlásfüggvénye is folytonos).

A feltételes valószínűség definícióját felhasználva

P{í<x\y^rj<y + Ay)

P(£<x,y^rj<y + Ay) P(y<Lri<y + Ay)

11. ábra

Az eseményeket a 11. ábra szemlélteti. A £ és r\ együttes (H) eloszlásfüggvényének, valamint az rj eloszlásfüggvényének (G) felhasználásával

P(£<xly^r/<y + Ay)

H(x, y + Ay) — H(x, y) G(y + Ay) - G(y)

A tört értéke nem változik, ha a számlálót és a nevezőt is Ay-na\ osztjuk. A definíció szerint /r(x|>’)-t Ay -* 0 határátmenettel kapjuk (ha a határérték létezik),

F(x\y) =

Hm H(x,y+Ay)-H(x,y) Ay

fim G(y + Ay)-G(y)

■t'-*» A„

8H{x, y)

dy

dG(y)

dy

A £-nek az {rj=y}-ra vonatkozó feltételes eloszlásfüggvényére kapott összefüggés azokra a valós x értékekre áll fenn, amelyekre adott y érték esetén a £ és rj együttes eloszlásfüggvénye y szerint parciálisán differenciálható, valamint az rj eloszlásfüggvénye differenciálható, és ez a differenciálhányados 0-tól különböző.

53