Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői
2. Példa. Egy R sugarú céltáblára véletlenszerűen lövéseket adunk le. Feltesszük, hogy minden lövés eltalálja a céltáblát (csak az ilyen lövéseket vesszük figyelembe). Tegyük fel, hogy a céltáblára rajzolt bármely síkidom találati valószínűsége arányos a síkidom területével, azaz geometriai valószínűségről van szó (1. 3.2.3). Legyen a d; valószínűségi változó a találati pont és a céltábla középpontja közötti távolság méröszáma. Határozzuk meg és ábrázoljuk a d; eloszlásfüggvényét! Megoldás. Ha x^O, akkor a {£<*} lehetetlen esemény. Ha 0<x^R, akkor a {£<x} azt az eseményt jelenti, hogy a lövés a céltáblával koncentrikus x sugarú körbe esik (6. ábra). Ekkor P^<x) = ~. R2 Ha x> R, akkor {d;<x} biztos esemény. Tehát az eloszlásfüggvény helyettesítési értékei: F(x) = 0, 2 ha x^O, X ha 0 <x^R, R2’ 1, ha x>R. A d; valószínűségi változó folytonos, eloszlás- függvénye folytonos (7. ábra). AZ ELOSZLÁSFÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAI 1. Az eloszlásfüggvény értékkészlete a [0, 1] zárt intervallum. Bizonyítás. Mivel az eloszlásfüggvény bármely helyettesítési értéke egy esemény valószínűségét jelenti, ezért az 1. axióma szerint VxeR esetén 0 ^ F(x) ^ 1. 2. Az eloszlásfüggvény monoton növekedő; azaz ha a, be R és a<b, akkor F(a)^F{b). Bizonyítás. Az eloszlásfüggvény definíciója szerint F(a) = P(£<a), F(b) = P(^ < b). Ha a<b, akkor a {d;<ú} mindig bekövetkezik, ha a {£<a} esemény bekövetkezik; de bekövetkezik akkor is, ha a^^<b; más esetben nem, ezért {Z<b} = {Z<a} + {a^Z<b}. 47 6. ábra 7. ábra
