Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői
A {£</} eseményt két egymást kizáró esemény összegeként írtuk fel, ezért a 3. axióma alkalmazásával P(Z<b) = P(£ < a) + P{a ^ f < b). Ebből az eloszlásfüggvény definíciójának felhasználásával F{b) = F(a) + P(a g £, < b), de az 1. axióma szerint P(a iS £ < b) ^ 0; tehát F(b)^F(a). A következő 3. és 4. tulajdonságot nem bizonyítjuk be. 3. Az eloszlásfüggvény minden pontban balról folytonos; azaz VaeR esetén lim F — F(a). a-0 Ez azt jelenti, hogy az eloszlásfüggvénynek az a helyen szakadása van, ha £ az a értéket pozitív valószínűséggel veszi fel. Ekkor a függvényérték ugrásszerűen megválóik, melynek nagysága P(£ = a) (1. 1. példa, 5. ábra). 4. Az eloszlásfüggvény határértéke a— oo-ben 0, a + co-ben pedig 1; azaz lim F = 0 és lim F = 1. — 00 +00 Természetesen az előbbiek nem jelentik azt, hogy F értéke csak nagy abszolút értékű negatív számok esetén lehet 0-hoz közeli, ill. nagy pozitív számokra lehet csak 1-hez közeli (lásd 1. és 2. példa). Nézzük meg, hogyan számíthatók ki a {£ < a}, {£ ^ a}, {a ^ £, < b}, {q = a) események valószínűségei, ha ismert a £, valószínűségi változó F eloszlásfüggvénye! A {£<a} esemény valószínűsége az /’definíciója szerint F(a); vagyis P(f<a) = F(a). A {Zz^a} esemény a {£<a} ellentéte, ezért a 3.2.1 pont 1. tétele szerint P{£, ^ a) = 1 — P{f < a)\ azaz P(£ ^ a) = 1 -F(a). A {a-^^<b} esemény valószínűsége az eloszlásfüggvény monotonitásának (2. tulajdonság) igazolásakor kapott F(b) = F{a) + P(a ^ £ < b) összefüggésből adódik, P(a^£ < b) = F(b) — F(a). 48
