Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

A valószínűségi változó folytonos, ha lehetséges értékei egy vagy több intervallumot alkotnak (lehet nem korlátos is).

Az előzőkben értelmezett valószínűségi változók közül diszkrétek: a kockadobással, a mintavétellel, az A esemény bekövetkezésének megfigyelésével, valamint a telefonközpontba beérkező hívások számának megfigyelésével kapcsolatban értelmezettek; folytonosak a tömegméréssel és az izzólámpa élettartamának megfigyelésével kapcsolatban értelmezettek. A folytonos fizikai mennyiségekkel kapcsolatban értelmezett valószínűségi változók általában folytonosak.

Egy valószínűségi változó lehetséges értékeit a számegyenesen ábrázolhatjuk. Diszkrét valószínűségi változó esetén véges sok pontot vagy pontsorozatot kapunk, folytonos valószínűségi változónál pedig a számegyenes egy szakaszát kapjuk (lehet félegyenes vagy a teljes számegyenes is).

Előfordulnak olyan valószínűségi változók is, amelyek a folytonos és a diszkrét valószínűségi változók keverékének tekinthetők, ezeket kevert valószínűségi változóknak nevezzük. Például legyenek f lehetséges értékei 0 és 1, valamint a [2, 3] intervallumbeli valós számok. Ezekkel mi nem foglalkozunk.

Ha egy kockával többször dobunk egymás után, és mindegyik pontszámot külön tekintjük, vagy ha a sorozatgyártásban készített alkatrészeknek egyszerre több tulajdonságát vizsgáljuk, akkor egyszerre több valószínűségi változót is bevezethetünk. Például egy kockával kétszer dobunk egymás után. Legyen f az első, rj pedig a második dobás pontszáma. Ekkor f = 1, 2, 3, 4, 5, 6; r\ = 1, 2, 3, 4, 5, 6 lehet. Az összetett kísérlettel kapcsolatban az elemi eseményekhez a (f, rj) valószínűségi változópárt rendelhetjük. Ha csak a két dobás pontszámának az összege érdekes, akkor egyetlen valószínűségi változót vezetünk be, legyen ez £, f = f + rj. A mintavételnél, ha a mintát nem egyszerre emeljük ki, akkor az egyes húzások eredményét (selejt vagy jó) pl. a fi, f2,..., f„ indikátorváltozókkal jellemezhetjük (f; = 1, ha az /'-edik húzáskor selejtet húzunk, egyébként f; = 0). Ekkor az összetett kísérlet (az n elemű minta vétele) elemi eseményeihez egy-egy nullákból és egyesekből álló rendezett szám-n-est rendelünk. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy az n elemű minta vételével kapcsolatos eseménytéren egy § = (£1, £2,..., f„) valószínűségi vektorváltozót értelmezünk. (Ha csak az érdekes, hogy az n elemű mintában hány darab selejt van, akkor csak egyetlen valószínűségi változót tekintünk, legyen ez rj. Jelenleg rj = fi+ f2+ •.• + £„, és az rj lehetséges értékei: 0, 1, 2, ..., n.)

Ha egyszerre n darab valószínűségi változót vezetünk be, akkor ezeket fi, £2,..., f„-nel, vagy egy valószínűségi vektorváltozóba foglalva i = (fi, fa, •••, 6i)-nel jelöljük.

A független események és független kísérletek fogalmát már bevezettük (3.3.3). A valószínűségi változók függetlenségét a független események fogalmára építve adjuk meg.

Definíció. A f és g valószínűségi változókat függetleneknek nevezzük, ha tetszőleges x és y valós számok esetén függetlenek a {f <x}, {r/<y} események.

42