Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

Jelölje a {£<x} és {g<y} események együttes bekövetkezésének valószínűségét P(ti<x,ri<y). Az események függetlenségének definícióját felhasználva a £ és // függetlenségének definíciója:

V(x,y)eR2 esetén P(£<x,t]<y) = P(£<x)P(r]<y).

Az n darab esemény (teljes) függetlenségére épül az előző definíció általánosítása.

Definíció. A £1, £2, •••, £« valószínűségi változókat (teljesen) függetleneknek nevezzük, ha tetszőleges x\, x2,x„ valós számok esetén (teljesen) függetlenek a {^i<xj}, {£2 <*2},események.

A valószínűségi változók függetlenségének eldöntése lehet valószínűségszámítási probléma, de lehet a matematikai statisztika feladata is. A független valószínűségi változók és a független kísérletek (3.3.3) definíciójából következik, hogy a független kísérletekkel kapcsolatban bevezetett valószínűségi változók függetlenek. Ezért függetlenek a két kocka egymás utáni feldobásával kapcsolatban bevezetett £, és //; ill. az n elemű minta vételével kapcsolatban bevezetett £1, £2, ■■■, £n valószínűségi változók, ha a mintavétel visszatevéses.

4.2 A valószínűségi változók eloszlása.

Az eloszlást jellemző függvények

A valószínűségi változó fogalmának bevezetése után egy kísérlettel kapcsolatos eseményt legtöbbször a valószínűségi változó bizonyos értékeinek halmazával adunk meg. Az esemény bekövetkezése azt jelenti, hogy a valószínűségi változó értéke ebbe a halmazba esik; a biztos esemény pedig az, hogy a valószínűségi változó valamelyik lehetséges értékét felveszi. A biztos esemény valószínűsége így a valószínűségi változó összes lehetséges értékén „oszlik el”. Ha csak egy valószínűségi változót tekintünk, akkor azt mondjuk, hogy a valószínűségi változó a valós számok halmazán valószínűségeloszlást (röviden: eloszlást) létesít. Mivel egy valószínűségi változó lehetséges értékeit számegyenesen ábrázolhatjuk, ezért azt is mondhatjuk, hogy a valószínűségi változó a számegyenesen létesít egy eloszlást. A valószínűségeloszlás - a valószínűségi változótól függően - lehet diszkrét vagy folytonos.

A valószínüségeloszlás a mechanikai rendszerek tömegeloszlásával analóg fogalom. A diszkrét valószínűségeloszlás mechanikai megfelelőjét úgy kapjuk, ha a számegyenes diszkrét pontjaiba (bizonyos nagyságú) összesen egységnyi tömeget osztunk el; a folytonos eloszlásét pedig akkor, ha az egységnyi tömeget egy egyenes mentén (lehet egy szakasza is) folytonosan oszlatjuk el.

A ^ valószínűségi változó eloszlása adott, ha az adatok alapján a <^-vel kapcsolatos események valószínűsége meghatározható. Hogyan adható meg egy valószínűségi változó eloszlása?

43